Puedes plantear la utilidad que se obtiene al entregar la masa de vidrio al final de cada día (observa que designamos con x a la cantidad de días transcurridos, y con p al precio de 100 libras de vidrio al finalizar el primer día, en unidades monetarias):

Día                                Utlidad

1       la utilidad es:         p                                              los chicos entregan 1 carga de 100 libras de vidrio

2       la utilidad es:    2*( p - 0,01 )                               los chicos entregan 2 cargas de 100 libras de vidrio cada una, y el precio disminuyó 1 centavo

3       la utilidad es:    3*( p - 0,01*2 )                           los chicos entregan 3 cargas de 100 libras de vidrio cada una, y el precio disminuyó 2 centavos

4       la utilidad es:    4*( p - 0,01*3 )                           los chicos entregan 4 cargas de 100 libras de vidrio cada una, y el precio disminuyó 3 centavos

.....................................................

x       la utilidad es:    x*( p - 0,01*(x-1) )                     los chicos entregan x cargas de 100 libras de vidrio cada una, y el precio disminuyó (x-1) centavos.

Luego, plantea la expresión de la utilidad en función del tiempo transcurrido:

U(x) = x*( p - 0,01*(x-1) ), distribuyes dentro del agrupamiento mayor, y queda:

U(x) = x*( p - 0,01*x + 0,01), distribuyes y queda:

U(x) = x*p - 0,01*x² + 0,01*x, ordenas términos según las potencias de x, extraes factor común entre los términos lineales para x, y queda:

U(x) = -0,01*x² + (p+0,01)*x (1).

Luego, y tratando a la función utilidad como una función continua (observa que no la hemos planteado así), plantea la expresión de su función derivada con respecto a x:

U ' (x) = -0,02*x + p + 0,01,

luego, plantea la condición de punto crítico (posible máximo o posible mínimo de la función):

U ' (x) = 0, sustituyes la expresión de la función derivada en el primer miembro, y queda:

-0,02*x + p + 0,01 = 0, multiplicas en todos los términos de la ecuación por -100, y queda:

2*x - 100*p - 1 = 0, haces pasajes de términos, y queda:

2*x = 100*p + 1, divides en todos los términos de la ecuación por 2, y queda:

x = 50*p + 0,5,

que es la expresión de la cantidad óptima de días, en función del precio inicial de 100 libras de vidrio.

Luego, como tienes en tu enunciado que el empresario paga un centavo por libra de vidrio, tienes que el precio inicial por cien libras es 100 centavos = 1 unidad monetaria,

luego reemplazas en la expresión remarcada, y la cantidad óptima de días queda:

x = 50*1 + 0,5 = 50,5 días.

Luego, plantea las utilidades (recuerda que el precio inicial de una carga de 100 libras de vidrio es 1 unidad monetaria), y para ello evalúa la expresión señalada (1):

U(50) = -0,01*50² + (1+0,01)*50 = -0,01*2500 + 1,01*50 = -25 + 50,50 = 25,50 unidades monetarias,

U(51) = -0,01*51² + (1+0,01)*51 = -0,01*2601 + 1,01*51 = -26,01 + 51,51 = 25,50 unidades monetarias;

por lo tanto puedes concluir que el momento más conveniente para entregar la carga total de vidrio es al finalizar el día número 50, ya que se obtiene la utilidad máxima que es 25,50 unidades monetarias (observa que al final del día 51 se obtiene la misma utilidad, por lo que es más provechoso entregarla al finalizar el día anterior, con lo que los muchachos ahorran un día).

Espero haberte ayudado.

Tienes la expresión de la función, cuyo dominio es: D = R - {-2,1}:

f(x) = 1/(x²+x-2) = (x²+x-2)^-1.

Luego, plantea la expresión de la función derivada primera:

f ' (x) = -1(x²+x-2)^-2(2x+1) = -(2x+1)/(x²+x-2)², y observa que está definida en todo el dominio de la función.

Luego, plantea la condición de punto crítico (posible máximo o posible mínimo):

f ' (x) = 0, sustituyes la expresión correspondiente en el primer miembro, y queda:

-(2x+1)/(x²+x-2)² = 0, haces pasaje de divisor como factor, y queda:

-(2x+1) = 0, multiplicas en ambos miembros de la ecuación por -1, y queda:

2x + 1 = 0, haces pasaje de término, y queda:

2x = -1, haces pasaje de factor como divisor, y queda:

x = -1/2, 

luego, evalúa la expresión de la función para este valor, y para un valor menor, y para uno mayor que él, y queda:

f(-1) = 1/( (-1)²-1-2 ) = 1/(1-1-2) = 1/(-2) = -1/2 = -0,5,

f(-1/2) = 1/( (-1/2)²-1/2-2 ) = 1/(1/4-1/2-2) = 1/(-9/4) = -4/9 ≅ -0,444,

f(0) = 1/(0²+0-2) = 1/(-2) = -1/2 = -0,5;

por lo que tienes un máximo local en: x = -1/2, y el valor de la función para él es: f(-1/2) = -4/9.

Espero haberte ayudado.

¿Puedes poner el ejercicio completo, por favor?

Sería el c).

Muchas gracias,

Disculpa el retraso.

Tienes la expresión del coste total, por lo que puedes plantear que la expresión del coste por metro cúbico es:

f(x) = C(x)/x, sustituyes la expresión del coste total en el numerador, y queda:

f(x) = [(1/100)x² + 121x + 169]/x, distribuyes el denominador, simplificas en los dos primeros términos, y queda:

f(x) = (1/100)x + 121 + 169/x.

Luego, plantea la expresión de la función derivada (observa que la derivada del segundo término es igual a cero):

f ' (x) = (1/100) - 169/x²:

luego, plantea la condición de punto crítico (posible máximo o posible mínimo):

f ' (x) = 0, sustituyes la expresión de la función derivada en el primer miembro, y queda:

(1/100) - 169/x² = 0, multiplicas en todos los términos de la ecuación por 100, y queda:

1 - 16900/x² = 0, haces pasaje de término, y queda:

1 = 16900/x², haces pasaje de divisor como factor, y queda:

x² = 16900, haces pasaje de potencia, y queda (observa que elegimos la solución positiva)

x = 130 m³, que es el valor crítico para la función,

y el coste mínimo por metro cúbico queda:

f(130) = (1/100)(130) + 121 + 169/130 = 1,3 + 121 + 1,3 = 123,6.

Luego, puedes verificar que el el valor mínimo de la función evaluándola para un valor menor y para un valor mayor que el valor crítico (por ejemplo, puedes evaluar para x = 129 y x = 131), y verás que los valores que obtendrás son mayores que el valor remarcado

Espero haberte ayudado.

Vamos con una orientación.

Observa que el segundo factor del denominador es un trinomio cuadrático que no tiene raíces reales, por lo que plantea:

1 / (x+1)(x²+2x+4) = a/(x+1) + (bx+c)/(x²+2x+4) = extraes denominador común =

= [ a(x²+2x+4) + (bx+c)(x+1) ] / (x+1)(x²+2x+4).

Luego, plantea la igualdad entre las expresiones polinómicas en los numeradores que hemos remarcado (observa que los denominadores son iguales):

a(x²+2x+4) + (bx+c)(x+1) = 1,

luego, a fin de determinar los coeficientes a, b y c, puedes evaluar para tres valores de x, por ejemplo: -1, 0 y 1, luego evalúas, y tienes el sistema de ecuaciones:

3a = 1, aquí haces pasaje de factor como divisor, y queda: a = 1/3;

4a + c = 1, aquí reemplazas el valor remarcado, haces pasaje de término, y queda: c = -1/3;

7a + 2b + 2c = 1, aquí reemplazas los valores remarcados, y queda:

7/3 + 2b - 2/3 = 1, aquí haces pasajes de términos, resuelves, y queda:

2b = -2/3, aquí divides por 2 en ambos miembros, y queda: b = -1/3.

Luego, tienes que la expresión del enunciado queda descompuesta como suma de fracciones simples:

1 / (x+1)(x²+2x+4) = (1/3)(1/(x+1) - (1/3) (x+1)/(x²+2x+4).

Luego, si debes integrar, observa que para el primer término la integración es directa, y que para el segundo término debes aplicar la sustitución (cambio de variable): w = x²+2x+4, de donde tienes: dw = (2x+2)dx, que al dividir por 2 en ambos miembros, queda: (1/2)dw = (x+1)dx.

Luego, puedes continuar la tarea.

Espero haberte ayudado.

Hola Pedro!

Cuando tienes una fracción igualada a 0 igualas sólo el numerador porque el denominador no puede ser 0. Es decir, 0/k existe mientras que k/0 no existe (puedes comprobarlo con la calculadora siendo k un número cualquiera). 

Por tanto sólo tienes que resolver 2x + 1 = 0 → x = -1/2

Espero que te sirva.

https://es.symbolab.com/solver/step-by-step/%5Clim_%7Bx%5Cto%5Cinfty%7D%5Cleft(log%20x%5Cright)%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%7D

¡Hola! Nos encantaría ayudarte, pero no solemos responder dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los vídeos que David Calle ha grabado como excepción. O de otras asignaturas que no sean Matemáticas, Física y Química. Lo sentimos de corazón… Esperamos que  lo entiendas.

Ojalá algún unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho, lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros).