Despejamos "a" de la 2ª ecuación:

1/a + 1/b = 1/4   --------->   4b+4a= ab ------->  4b=ab-4a ------>   4b=a(b-4) --------->  a=4b/(b-4)

Sustituimos en la 1ª ecuación el valor obtenido de "a":

[4b/(b-4)]²+b²=180

16b²/(b²+16-8b) + b²=180

16b²+b²(b²+16-8b)= 180(b²+16-8b)

16b²+b⁴+16b²-8b³= 180b²+2880-1440b

b⁴-8b³-148b²+1440b-2880=0

Tienes que resolver este polinomio con factores binómicos (¡probando con los divisores de 2880!)

y así obtener los valores de b, luego sustituirás en alguna ecuación del sistema para hallar los valores de a en función de los de b

Has mostrado correctamente que la proposición es Verdadera para n = 1.

Has planteado correctamente la Hipótesis Inductiva.

Has planteado correctamente la Tesis Inductiva.

Vamos con la demostración (observa el signo en el ùltimo término):

p(k+1): 1 - 2² + 3² ... + (-1)^k+1*k² + (-1)^k+2*(k+1)² =

aplicas la Hipótesis Inductiva y queda:

= (-1)^k+1*k*(k+1)/2 + (-1)^k+2*(k+1)² =

extraes factor común y queda:

= (-1)^k+1*(k+1)*( k/2 + (-1)*(k+1) ) =

desarrollas el último factor y queda:

= (-1)^k+1*(k+1)*(k/2 - k - 1) =

reduces términos semejantes en el último factor y queda:

= (-1)^k+1*(k+1)*(- k/2 - 1) =

extraes factor común -1 en el último factor y queda:

= (-1)^k+1*(k+1)*(-1)*(k/2 + 1) =

extraes denominador comùn en el último factor y queda:

= (-1)^k+1*(k+1)*(-1)*(k+2)/2 =

ordenas factores y queda:

= (-1)^k+1*(-1)*(k+1)*(k+2)/2 =

resuelves el producto de los dos primeros factores y queda:

= (-1)^k+2*(k+1)*(k+2)/2.

Espero haberte ayudado.

TRUCO: Como los coeficientes del polinomio suman 0, seguro (x-1) es un factor.

(x-1)²(x+1)(x²+x+1)=0

Muchas Gracias, quisiera saber si Hay vídeos similares al ejercicio, en unicoos? 

Observa que senx es oscilante y  acotada entre -1 y 1, por lo que su valor absoluto està comprendido entre 0 y 1.

Observa que x tiende a infinito.

Luego, puedes plantear:

0 ≤ │senx / x│ = │senx│/│x│ ≤ 1/│x│.

Observa que tienes que el valor absoluto del argumento del lìmite está comprendido entre 0 y 1/│x│;

luego plantea la doble inecuación correspondiente:

0 ≤ │senx / x│ ≤ 1/│x│;

luego puedes tomar el límite para x tendiendo a infinito en los tres miembros y queda:

Lím(x→∞) 0 ≤ Lím(x→∞)│senx / x│≤ Lím(x→∞) 1/│x│,

resuelves el primero y el último miembro, aplicas la propiedad del lìmite de un valor absoluto en el miembro central y queda:

0 ≤ │Lím(x→∞) senx / x│ ≤ 0;

y puedes concluir:

Lím(x→∞) senx / x = 0.

Espero haberte ayudado.

La verdad es que sí me ayudo mucho. !Gracias! 

¡Muchas gracias, Axel! Me salvaste.