Recuerda la propiedad del módulo del producto vectorial entre dos vectores, que es igual al área del paralelogramos determinado por ellos.
De ahí, tienes para el área del triángulo determinado por los vectores u y v:
At = (1/2)*|u x v|,
y en este ejercicio tienes:
u = a - 2b, y v = 3a + 2b.
Luego, plantea el producto vectorial entre u y v:
u x v = (a - 2b) x (3a + 2b) = (a x 3a) + (a x 2b) - (2b x 3a) + (2b x 2b) = extraes factores numéricos y queda:
= 3(a x a) + 2(a x b) - 6(b x a) + 4(b x b) (1).
Recuerda las propiedades del producto vectorial:
a x a = o (vector nulo), b x a = - (a x b), b x b = o (vector nulo) y |a x b| = |a|*|b|*cosα, donde α es el ángulo determinado por los vectores a y b,
luego sustituyes en la expresión señalada (1) y queda:
u x v = 3(o) + 2(a x b) - 6( - a x b ) + 4(o) =
= o + 2(a x b) + 6(a x b) + o = cancelas términos nulos, reduces términos semejantes y queda:
= 8(a x b).
Luego, tienes para el área del triángulo determinado por los vectores u y v:
At = (1/2)*|u x v| = (1/2)*|8(a x b)| = (1/2)*8*|a x b| = 4*|a x b| =
= 4*|a|*|b|*cosα = 4*5*5*cos(π/4) = 100*√(2)/2 = 50*√(2).
Espero haberte ayudado.
