Por L'Hôpital este límite se complica mucho:

Observa que en el ejercicio 1 tienes una variable aleatoria X con distribución binomial, cuyos parámetros son n = 3, p = 0,1 y q = 0,9.

Luego,, el conjunto de valores que puede tomar la variable aleatoria X es: V_X = {0, 1, 2, 3].

La función de distribución de probabilidad queda:

p(X = k) = C(n,k)*p^k*q^n-k, reemplazamos valores y queda:

p(X = k) = C(3,k)*0,1^k*0,9^3-k, con k ∈ V_X.

Luego, tienes para el ejercicio 2, que el suceso A: "la pintura es rechazada":

que su probabilidad complementaria es: p(A^c) = p(X = 0) = C(3,0)*0,1⁰*0,9^3-0 = 1*1*0,9³ = 0,729,

y que su probabilidad es: p(A) = 1 - p(A^c) = 1 - 0,729 = 0,271,

observa que para X = 0 tenemos que la pintura pasó las tres pruebas y no es rechazada, y que para los demás casos (X = 1, 2, 3) tenemos que la pintura no pasó alguna de las pruebas, por lo que tenemos que es rechazada.

Espero haberte ayudado.

Buenas tardes Antonio, muchas gracias por responderme, verás me quedó una duda, yo tenía entendido que para calcular un vector normal a la superficie y al mismo tiempo normal al plano, debías calcular el vector gradiente de la superficie y luego reemplazar el punto que nos daban (al menos así lo hacía cuando me daban 1 punto), y veo que en el paso 2 tú lo hiciste de otra forma, ¿me podrías explicar por qué queda eso? específicamente cuando dices (el plano tangente π= [ecuación que no entiendo]) gracias de antemano.

Cuando P(A∩B) = P(A) · P(B)

http://www.unicoos.com/video/matematicas/4-eso/probabilidad/conceptos-basicos/probabilidad-de-sucesos-independientes

Cuando la ocurrencia de un suceso no depende ni está influenciado por la ocurrencia o no del otro.

Por ejemplo, si lanzas un dado dos veces. Sean los sucesos A = {sale par la primera lanzada} y B = {sale 5 en la segunda lanzada}

La ocurrencia de A no depende de que ocurra B. La probabilidad de que ocurra A es de 3/6 = 1/2.

La ocurrencia de B no depende de qué ocurra con A. La probabilidad de que ocurra B es de 1/6.

A y B son independientes.

d(P,π)=(2a-2a+1)/(√9)=1/3

todos los puntos de la forma (a,2a,1/2) están a 1/3 unidades del plano

Para cualquier valor de a se cumple la condición pedida

4      0.05        4   

16    0.2          20

24    0.3          44

26    0.325     70

10    0.125     80

Primero tienes que fijarte en la frecuencia absoluta de la segunda fila (20) y como la frecuencia absoluta es la suma de las frecuencias relativas y tenemos un 16, entonces 20-16=4 es la frecuencia absoluta de x₀ , llegados ahí podemos completar el hueco de la segunda fila que nos queda (la relativa), si 4 es 0.05 entonces 16 es 0.2 (ten en cuenta que la suma de las frecuencias relativas es igual a 1 siempre (para verificar tus resultados).

tg²x-tgx=0

tgx(tgx-1)=0 => tgx=0 ó tgx=1
tgx=0 => x=0 ó x=π

tgx=1 => x=π/4

x=2πk

x=π+2πk

x=π/4+ 2πk

k∈ℤ