Puedes tratar el problema por etapas.
1) Observa que el dominio de la función es D = R - {2}, ya que las desigualdades que delimitan los subconjuntos del dominio para cada trozo son estrictas.
2) Observa que las expresiones de ambos trozos son continuas en todo punto (son expresiones polinómicas), por lo que estudiamos los límites laterales para el punto de corte x = 2:
Lími(x→2-) f(x) = Lími(x→2-) (ax2 + 3x) = 4a + 6,
Lími(x→2+) f(x) = Lími(x→2+) (x2- bx - 4) = 4 - 2b - 4 = - 2b;
luego, como los límites laterales deben coincidir para tener continuidad en x = 2, planteamos:
4a + 6 = - 2b, hacemos pasajes de términos y queda:
4a + 2b = - 6, dividimos en todos los términos de la ecuación por 2 y queda:
2a + b = - 3 (1).
3) Planteamos la expresión de la función derivada:
f ' (x) =
2ax + 3 si x < 2
2x - b si x > 2
observa que la función derivada existe para todo punto excepto x = 2, y que queda el punto de corte x = 2 para estudiar:
luego, planteamos los límites de las derivadas laterales para x = 2:
Lím(x→2-) f ' (x) = 2a(2) + 3 = 4a + 3,
Lím(x→2+) f ' (x) = 2(2) - b = 4 - b,
luego, como los límites de la función derivada deben coincidir para tener derivabilidad en x = 2, planteamos:
4a + 3 = 4 - b, hacemos pasajes de términos y queda:
4a + b = 1 (2).
4) Planteamos un sistema con las ecuaciones señaladas (1) (2):
2a + b = - 3
4a + b = 1,
lo resuelves con algún método que hayas visto en clase y tienes: a = 2 y b = - 7.
5) Verificamos que los límites laterales que planteamos en el inciso 2) coinciden:
Lími(x→2-) f(x) = Lími(x→2-) (ax2 + 3x) = 4a + 6 = 4(2) + 6 = 8 + 6 = 14,
Lími(x→2+) f(x) = Lími(x→2+) (x2- bx - 4) = 4 - 2b - 4 = - 2b = - 2(- 7) = 14,
por lo tanto tenemos:
Lími(x→2) f(x) = 14.
6) Definimos el valor de la función ampliada para x = 2, de acuerdo con el valor del límite:
f(2) = 14.
7) Verificamos que los límtes laterales de la función derivada que planteamos en el inciso 3) coinciden:
Lím(x→2-) f ' (x) = 2a(2) + 3 = 4a + 3 = 4(2) + 3 = 8 + 3 = 11,
Lím(x→2+) f ' (x) = 2(2) - b = 4 - b = 4 - (- 7) = 4 + 7 = 11,
por lo tanto definimos:
f ' (2) = 11.
8) Planteamos la expresión de la función ampliada (observa que su dominio es D = R):
f(x) =
2x2 + 3x si x < 2
14 si x = 2
x2 + 7x - 4 si x > 2,
observa que la función es continua en todo su dominio (recuerda que es una condición necesaria para que también sea derivable).
9) Planteamos la expresión de la función derivada ampliada (observa que su dominio es D = R):
f ' (x) =
4x + 3 si x < 2
11 si x = 2
2x + 7 si x > 2.
10) Concluimos que la función ampliada es continua y derivable en todo su dominio D = R.
Espero haberte ayudado.
