Bruno, da otra cosa:

Vamos con el segundo.

Tienes la función cuya expresión es  y = (1/4)(x² - 4), cuya derivada es: dy/dx = (1/4)(2x) = (1/2)x = m.

Luego tienes la parametrización:

x = t², sustituyes en la expresión de la función y queda: y = (1/4)( (t²)² - 4 ) = (1/4)(t⁴ - 4).

Luego pasamos al ejercicio:

a) 

x = t²

y = (1/4)(t⁴ - 4)

con t ∈ R,

y observa que la gráfica de la función es una parábola, y que la parametrización propuesta corresponde a una sola de sus ramas.

b)

Para la pendiente, planteamos:

m = dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = t³ / 2t = simplificamos = (1/2)t² (observa que corresponde con la expresión de la derivada).

Espero haberte ayudado.

Comencemos con el planteo de un vector director de la recta como el producto vectorial de los vectores normales a los planos:

u = <2,-1,3> x <4,3,-1> = <-8,14,10>.

Luego, planteamos el vector normal al plano buscado: n = <a,b,c>.

Luego, como la recta está incluida en el plano buscado, tenemos que su vector director es perpendicular al vector normal, por lo que  planteamos que el producto escalar entre ellos es igual a cero:

u•n = 0, expresamos a los vectores con sus componentes y queda:

<-8,14,10>•<a,b,c> = 0, desarrollamos el producto escalar y queda la ecuación:

- 8a + 14b + 10c = 0 (1).

Luego, tenemos que el plano buscado es perpendicular al plano dado, por lo que planteamos que el producto escalar entre sus vectores normales es igual a cero:

n_d•n = 0, expresamos a los vectores con sus componentes y queda:

<3,-4,-2>•<a,b,c> = 0, desarrollamos el producto escalar y queda la ecuación:

3a - 4b - 2c = 0 (2).

Luego, con las ecuaciones señaladas (1) (2) tenemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

- 8a + 14b + 10c = 0

3a - 4b - 2c = 0

luego, puedes despejar (te dejo la tarea):

a = - (6/5)c

b = - (7/5),

luego, tenemos que la expresión general de los vectores normales al planto buscado queda:

n = <a,b,c> = < - (6/5)c , - (7/5)c , c >, con c distinto de cero,

y podemos emplear uno de ellos para nuestro ejercicio, por ejemplo para c = 5 tenemos:

n = <-6,-7,5>.

Luego, necesitamos encontrar un punto de la recta incluida en el plano, para elllo hacemos pasajes de término en sus ecuaciones y queda el sistema:

2x - y = 2 - 3z

4x + 3y = 1 + z

elegimos un valor arbitrario para z, por ejemplo z = 0 y queda el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

2x - y = 2

4x + 3y = 1

resolvemos el sistema (te dejo la tarea) y su solución queda: x = 7/10, y = - 3/5,

por lo que tenemos que un punto de la recta, y también del plano buscado, tiene coordenadas:

A(7/10,-3/5.0).

Luego, con el vector n calculado, y uno de sus puntos calculado, ya tienes todo lo que necesitas para plantear la ecuación del plano buscado.

Espero haberte ayudado.

La segunda

Postea tu ejercicio y o vemos

Ciertamente el limite o esxiste, pues es divergente.

Se trata de un semicírculo de radio 1 centrado en el origen. O sea, que 0<=r<=1   y  0<=θ<=π

Igual, no se cómo seguir. Porque me queda 0 (cero) la primer integral que hago. Puede ser eso?

d=P/V   

V=πr^2 h

Calculas V, despejas d  y ya tienes el peso neto de cada lata.

S=2πrh

Calculas S y ya tienes el papel que necesita una lata.