Gracias, Kevin. Anima a tus profes a que mejoren día a día. Se podrían sorprender de lo que iban a dar de sí.

Kevin Calderon, te acompaño en el sentimiento :D

Las ecuaciones exponeciales que no has podido resolver mediante los métodos que te explicó tu profesor es porque las tienes que hacer con la ayuda de los logaritmos. Cuando no puedas con las técnicas de ecuaciones exponenciales, hazlas con la ayuda de los logaritmos.

a+b=420 (dato)

b=12(q-8)+r´ (dato)

a=420-b

a=420-[12(q-8)+r´]

a=420-[(12q-96)+r´]

a=420-(12q-96+r´)

a=420-12q+96-r´

a=526-12q-r´

a=15q+r (dato)

b=420-a

b=420-(15q+r)

b=420-15q-r

Entendemos que tienes planteadas divisiones entre números naturales, por lo que tenemos, según el Algoritmo de Euclides:

0 ≤ r < 15, 

0 ≤ r' < 12,

sumamos miembro a miembro y tenemos:

0 ≤ r + r' < 27.

Sustituyes las dos primeras expresiones en la tercera ecuación y queda:

15*q + r + 12*(q - 8) + r' = 420, distribuyes el tercer término y queda:

15*q + r + 12*q - 96 + r' = 420, haces pasaje de término, reduces términos semejantes y queda:

27*q + r + r' = 516,

luego, de acuerdo con el Algoritmo de Euclides, tenemos que r + r' es el resto de dividir a 516 por 27, por lo que tenemos:

516 = 27*19 + 3,

de donde tenemos:

q = 19,

r + r' = 3 (1).

Luego, reemplazamos en las ecuaciones del enunciado y queda el sistema:

a = 15*19 + r, resolvemos el primer término y queda: a = 285 + r (2)

b = 12*(19 - 8) + r', en donde resolvemos el primer término y queda: b = 132 - r' (3)

a + b = 420,

luego reemplaamos las expresiones señaladas (2) (3) en la última ecuación y queda:

285 + r + 132 - r' = 420, hacemos pasajes de términos, reducimos términos numéricos y queda:

r - r' = 3 (4).

Luego, con las ecuaciones señaladas (1) y (4) tenemos el sistema:

r + r' = 3

r - r' = 3,

sumamos ambas ecuaciones y queda: 2r = 6, de donde despejamos: r = 3,

restamos amas ecuaciones y queda: 2r' = 0, de donde despejamos: r' = 0.

Luego, reemplazamos en las expresiones señaladas (2) (3) y queda:

a = 285 + 3 = 288,

b = 132 - 0 = 132.

Espero haberte ayudado.

Pon foto del enunciado original, Sergio.

Si la ecuación que describe la curva es: y = x*ln(x/2), observa que la función toma valores menores o iguales que cero para x comprendido entre 1 y 2,  mayores o iguales que cero para x comprendido entre 2 y 4. Luego plantea:

A = A₁ + A₂, con A₁ para x comprendido entre 1 y 2, y A₂ para x comprendido entre 2 y 4.

Luego, pasamos a calcular cada término por separado.

1) A₁ = ∫ ( 0 - x*ln(x/2) )*dx = -1*∫ x*ln(x/2)*dx= , para evaluar entre x = 1 y x = 2.

Plantea el método de integración por partes:

u = ln(x/2), de donde tienes (observa que debes aplicar la regla de la cadena): du = ( 1/(x/2) )*(1/2)*dx = (2/x)*(1/2)*dx = (1/x)*dx = x^-1*dx,

dv = x*dx, de donde tienes: v = (1/2)*x²,

luego aplicas el método y la integral de área queda:

A₁ = -1*(u*v - ∫ v*du), sustituimos y queda:

A₁ = - ln(x/2)*(1/2)*x² + ∫ (1/2)*x²*x^-1*dx, ordenamos y reducimos factores en toda la expresión, extraemos el factor constante de la integral y queda:

A₁ = (-1/2)*x²*ln(x/2) + (1/2)*∫ x*dx, resolvemos la integral y queda:

A₁ = (-1/2)*x²*ln(x/2) + (1/2)*(1/2)*x², extraemos factor común y queda (indicamos con los corchetes que debes evaluar con la Regla de Barrow):

A₁ = [ (1/4)*x²*(-2*ln(x/2) + 1) ], evaluamos entre x = 1 y x = 2 y queda:

A₁ = (1/4)*2²*(-2*ln1 + 1) - (1/4)*1²*(-2*ln(1/2) + 1) = 1*(0 + 1) - (1/4)*(-2*ln(1/2) + 1) = 1 + (1/2)*ln(1/2) - 1/4 ≅ 0,4034.

2) A₂ = ∫ (x*ln(x/2) - 0)*dx, para evaluar entre x = 2 y x = 4.

Plantea el método de integración por partes:

u = ln(x/2), de donde tienes (observa que debes aplicar la regla de la cadena): du = ( 1/(x/2) )*(1/2)*dx = (2/x)*(1/2)*dx = (1/x)*dx = x^-1*dx,

dv = x*dx, de donde tienes: v = (1/2)*x²,

luego aplicas el método y la integral de área queda:

A₂ = u*v - ∫ v*du, sustituimos y queda:

A₂ = ln(x/2)*(1/2)*x² - ∫ (1/2)*x²*x^-1*dx, ordenamos y reducimos factores en toda la expresión, extraemos el factor constante de la integral y queda:

A₂ = (1/2)*x²*ln(x/2) - (1/2)*∫ x*dx, resolvemos la integral y queda:

A₂ = (1/2)*x²*ln(x/2) - (1/2)*(1/2)*x², extraemos factor común y queda (indicamos con los corchetes que debes evaluar con la Regla de Barrow):

A₂ = [ (1/4)*x²*(2*ln(x/2) - 1) ], evaluamos entre x = 2 y x = 4 y queda:

A₂ = (1/4)*4²*(2*ln2 - 1) - (1/4)*2²*(2*ln(1) - 1) = 4*(2*ln2 - 1) - 1*(0 - 1) = 8*ln2 - 3 ≅ 2,5452.

Luego tenemos:

A = A₁ y A₂ ≅ 0,4034 + 2,5452 = 2,9486.

Espero haberte ayudado.

Ojalá entiendas:

Te refieres a ∫2x+(5/x²)-4x+13 dx    ?       o quizás esta  ∫(2x+5)/(x²-4x+13) dx     ?

Si es  ∫2x+(5/x2)-4x+13 dx

la descompones en:  ∫2x dx+∫(5/x2) dx -∫4x dx+∫13 dx

*∫2x dx= 2x²/2= x²

*∫(5/x2) dx= 5∫1/x²= 5∫x^-2dx=5*(x^-1/-1)= 5*(-1/x)= -5/x

*∫4x dx= 4∫x= 4*(x²/2)= 4/2*(x²)= 2x²

^*∫13 dx= 13x

∫2x dx+∫(5/x2) dx -∫4x dx+∫13 dx= (x²)+(-5/x)-(2x²)+13x=        -x²-(5/x)+13x + C

Adjunta tus integrales y, veremos si las has resuelto de buena manera.

No se ven las integrales, Marco

Ha, la pregunta es porque mañana tengo examen y quiero confirmar hay, si he hecho bien mis examenes.

Seguimos sin ver tus integrales, cuando subas las imágenes podremos intentar ayudarte