Muchísimas Gracias. Te lo agradezco enormemente.

Va Dipsi:

Ad´sptalo para R=9

Lo es. Descompones en dos integrales (de 0 a 1  y  de 1 a 4)

B) 

A) 

Claro Sumi:

Vamos con el primero.

a) Tienes la epxresión:

log₅( ∛( A² / 25B ) ) = log₅( ∛( A² / 5²B ) ) = aplicamos la propiedad del logaritmo de una raíz y queda:

= (1/3) * log₅( A² / 5²B ) = aplicamos la propiedad del logaritmo de una división:

= (1/3) * [ log₅(A²) - log₅(5²B) ] = aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia en el primer término del agrupamiento, de un producto e el segundo, y queda:

= (1/3) * [ 2*log₅(A) - ( log₅(5²) + log₅(B) ) ] = resolvemos el logaritmo numérico y queda:

= (1/3) * [ 2*log₅(A) - ( 2 + log₅(B) ) ] = resolvemos signos en el agrupamiento y queda:

= (1/3) * [ 2*log₅(A) + 2 - log₅(B) ] = distribuimos y llegamos a:

= (2/3)*log₅(A) + 2/3 - (1/3)*log₅(B).

b) Tienes la expresión:

log₅( ( 5*√(A³) ) / B² ) = aplicamos la propiedad del logaritmo de una división:

= log₅( 5*√(A³) ) - log₅(B²) = aplicamos la propiedad del logaritmo de un producto en el primer término, de una potencia en el segundo, y queda:

= log₅(5) + log₅( √(A³) ) - 2*log₅(B) = resolvemos el primer término, aplicamos la propiedad del logaritmo de una raíz en el segundo, y queda:

= 1 + (1/2)*log₅(A³) - 2*log₅(B) = aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia en el segundo término y queda:

= 1 + (1/2)*3*log₅(A) - 2*log₅(B) = resolvemos coeficientes en el segundo término y llegamos a:

= 1 + (3/2)*log₅(A) - 2*log₅(B).

Espero haberte ayudado.

Muchas gracias a todos.😊😊😊

Si vas intentándolo hacer y preguntas las dudas según te vayan surgiendo, seguro te ayudaremos ;)

Observa que te daría cuadrado si tuvieras simetría con respecto a ejes perpendiculares que corten a la circunferencia completa, con el cuadrilátero inscrito en la circunferencia. Como tienes una semicircunferecia, solo puedes tener simetría con respecto a un solo eje coordenado..

Dibuja un sistema de ejes cartesiano, y una semicircunferencia con centro C(0,0) y radio √(5),

ubicada en el semiplano superior (y ≥ 0),que es la mitad superior de la circunferencia cuya ecuación es: x² + y² = 5.

Luego, dibuja un rectángulo simétrico con respecto al eje de ordenadas OY, cuya base esté comprendida entre dos puntos genéricos del eje OX: A(-x,0), y B(x,0) (observa que el diámetro de la semicircunferencia está sobre el eje de abscisas OX y contiene a la base del rectángulo). Observa que los otros dos vértices del rectángulo tienen coordenadas:

C( -x,√(5 - x²) ) y D( x,√(5 - x²) ) (observa que los vértices C y D pertenecen a la semicircunferencia):

Luego tenemos para las dimensiones del rectángulo:

longitud de la base: b = distancia(A,B) = x - (-x) = 2x,

longitud de la alura: h = distancia(B,D) = √(5 - x²) - 0 = √(5 - x²).

Luego, planteamos el área de un rectángulo:

A = b*h, sustituimos y queda:

A(x) = 2x*√(5 - x²) (observa que x puede tomar valores estrictamente comprendidos entre 0 y el radio de la semicircunferencia),

planteamos la expresión de la derivada primera y queda:

A ' (x) = 2*√(5 - x²) + 2x*( 1 / 2*√(5 - x²) )*(-2x), resolvemos productos en el segundo término y queda.

A ' (x) = 2*√(5 - x²) - 2x²/√(5 - x²), luego planteamos la condición de punto crítico (posible máximo o posible mínimo).

A ' (x) = 0, sustituimos y queda:

2*√(5 - x²) - 2x²/√(5 - x²) = 0, hacemos pasaje de término y queda:

2*√(5 - x²) = 2x²/√(5 - x²), hacemos pasaje de divisor como factor, simplificamos índice y exponente y queda:

2*(5 - x²) = 2x², dividimos en ambos miembros por 2 y queda:

5 - x² = 2x², hacemos pasajes de términos y queda:

- 3x² = - 5, hacemos pasaje de factor como divisor y queda:

x² = 5/3, hacemos pasaje de potencia como raíz y llegamos a:

x = √(5/3) ≅ 1,2910 (observa que puedes verificar que corresponde a un máximo del área, evaluando su expresión para 1,2 y 1,3),

luego, pasamos a las dimensiones del rectángulo:

b = 2*√(5/3),

h = √(5 - ( √(5/3) )²) = √(5 - 5/3) = √(10/3).

A = 2*√(5/3)*√(10/3) = 2*√(50/9),

vértices: A( -√(5/3),0 ), B( √(5/3),0 ), C( -√(5/3),√(10/3) ), D( √(5/3),√(10/3) ).

Espero haberte ayudado.

Porque sacas mal factor común  

La simplificación va bien.

El factor común está bien hecho excepto lo que está tachado en gris....para despejar tienes que tener en cuenta que el denominador tendría que afectar también a la x (tienes que hacer común denominador primero para hacer este paso

(1) "El valor esperado es 2.8"

0.3*4 es 1.2 y NO 0.12....quedaría:    0.1+2A+3B+1.2= 2.8-------->  2A+3B=1.5      (con sólo eso, no tendríamos claro el valor de A y B)

(2) B/A=1    

De esto podemos deducir que A y B son iguales.... B=A  o   B=A

2A+3B=1.5

2A+3A=1.5

5A=1.5

A=0.3=B

Según el proceso que he seguido es la C) Ambas juntas