Hola Juan. Aquí te viene una ayudita.

En primer lugar, consideremos R(radio grande)=6, y r(radio pequeño)=2

Ahora bien, hay que pensar que nos piden calcular la diferencia de la zona sombreada y la zona sin sombrear. Para ello calculamos el área total puesto que A_TOTAL = A_SOMBREADA + A_SIN.SOMBREAR

Calculamos en primer lugar el área TOTAL del semicírculo. πR²/2=π6²/2=18π

Ahora calculemos el área SIN SOMBREAR.

- Área semicírculo pequeño. πr²/2=π2²/2=2π

- Área restante de zona sin sombrear cubierto por un ángulo de 60º. En primer lugar, como la solución trabajan con radianes, transformemos 60º a radianes, con una regla de 3.

• 60 - x
• 180 - π

x=60π/180 = π/3

Ahora bien, decimos πR²/2·(π/3)/π - πr²/2·(π/3)/π

Antes de continuar cabe destacar que el (π/3)/π es el porcentaje del área que estamos calculando. Es como decir, 60º/180º

Simplificamos y calculamos πR²/2·(π/3)/π - πr²/2·(π/3)/π = π6²/2·1/3 - π2²/2·1/3 =36π/6-4π/6 = 32π/6 = 16π/3

Ahora calculamos el área total sin sombrear.  2π + 16π/3 =(6π+16π)/3 = 22π/3

Ahora calculamos el área SOMBREADA, como A_TOTAL = A_SOMBREADA + A_SIN.SOMBREAR; A_SOMBREADA = A_TOTAL- A_SIN.SOMBREAR = 18π - 22π/3 = (54π - 22π)/3 = 32π/3

Por último, calculamos lo que nos piden, la diferencia de las dos áreas, el área sombreada y la área sin sombrear. 32π/3 - 22π/3=10π/3

Solución. Apartado a

Más tarde te mando el resto:

Vamos con la demostración de la tesis inductiva:

(1 + a)ⁿ⁺¹ = (1 + a)ⁿ(1 + a) ≥ aplicamos la hipótesis inductiva ≥ (1 + na)(1 + a) = distribuimos:

= 1 + na + a + na² = 1 + (n + 1)a + na² ≥  restamos el término na² (observa que na² es positivo) ≥ 1 + (n + 1)a.

Espero haberte ayudado.

Vamos con una ayuda:

observa que puedes multiplicar al numerador y al denominador por √(1 - cosx), luego, la expresión de la función queda:

Numerador: N = senx√(1 - cosx),

Denominador: D = √(1 + cosx)√(1 - cosx) = √( (1 + cosx)(1 - cosx) ) = √(1 - cos²x) = √(sen²x) = |senx| = - senx (1).

Luego, pasamos al cálculo del límite:

Lím(x→π+) senx/√(1 + cosx) = Lím(x→π+) ( senx√(1 - cosx) / (-senx) ) = simplificamos = Lím(x→π+) √(1 - cosx) / (-1) = √(2) / (-1) = - √(2).

Luego, vamos a la llamada (1), para justificar cómo quedó el denominador de la expresión del argumento del límite:

Recuerda la propiedad de simplificación entre raíces con índice par y potencias con exponente par (en este caso tenemos índice igual a 2 y exponente igual a 2):

√(u²) = |u|.

Luego, observa que cuando x tiende a π por la derecha, la función senx toma valores negativos, por lo que tenemos (recuerda la definición de valor absoluto):

|senx| = - senx.

Espero haberte ayudado.

Muchísimas gracias

Está bien, solo que recuerda que multiplicaciones y divisiones están en el mismo nivel, uno por encima de las sumas y restas (que está en otro igual). Esto significa que si tienes una sucesión de sumas y restas o multiplicaciones y divisiones las puedes resolver en el orden que quieras.

Saludos Aleatorius.

La regla que indicas no está del todo mal, pero te puede llevar a errores muy comunes a la hora de realizar operaciones. Por ejemplo el de pensar que se hacen antes las multiplicaciones que las divisiones, cuando no es así.

¿Cuál sería el valor de 2 * 3 : 3 * 2 ? Si hacemos caso a tu regla saldría 1, cuando el verdadero valor sería 4.

En el caso de la suma y la resta ocurre lo mismo, aunque no es tan peligroso lo de hacer primero las sumas (siempre y cuando respetes los signos de los negativos), pero también ambas operaciones están en el mismo nivel de jerarquía y no diferente, como pudiera parece en tu regla. 

Por último decirte que te falta una operación más que es la de las raíces, las cuales están al mismo nivel que las potencias. 

RESUMIENDO:

1º Haz el interior de los paréntesis o corchetes o cualquier pareja de símbolos que se usan para agrupar operaciones, HASTA QUE SOLO TE QUEDE UN NÚMERO en su interior.

2º Haz las potencias y raíces.

3º Haz las multiplicaciones y divisiones. En el caso de estar enlazadas, hazlas de IZIQUIERDA a DERECHA.

4º Por último, haz las sumas y restas. Recomendado hacerlo sumando los positivos y negativos por un lado para luego restar la suma de positivos menos la de negativos.

Espero haberte podido ayudar.

Un saludo.

SB!!

Hola Sara, a ver si me explico bien.

Al final lo importante es que cambias a los dos de signo, es como si pasaras el signo - de un lado a otro. Ademas hay que tener en cuenta que el número que buscas, la "x", también la elevas al cuadrado. Es decir, quedaría 25/16>x²>9/16.

Creo que es más fácil considerar el cambio de signo, que es seria de la siguiete forma, 5/4>x>3/4. Para mí, más fácil e intuitivo.

Saludos y a seguir trabajando.

Tienes la doble inecuación:

-5/4 < x < -3/4,

que puedes escribir (recuerda que √(x²) = |x|, y que x toma valores negativos comprendidos estrictamente entre -5/4 y -3/4, por lo que tienes

que x = -|x|):

-5/4 < -|x| < -3/4,

luego multiplicamos por -1 en los tres miembros (recuerda que cambian los sentidos de las desigualdades) y queda:

5/4 > |x| > 3/4,

luego escribimos la doble inecuación como se la lee de derecha a izquierda y queda:

3/4 < |x| < 5/4,

luego elevamos al cuadrado en los tres miembros (observa que son todos positivos, y que la función y = x² es creciente) y queda:

(3/4)² < |x|² < (5/4)²,

resolvemos los tres miembros (recuerda que |x|² = x²) y llegamos a:

9/16 < x² < 25/16.

Espero haberte ayudado.

Es exactamente como dice Silvio, recuerda que al sumar, restar los miembros de la inecuación los signos de (<,>,≤, ≥ ) se mantienen, pero cuando multiplicas por un numero real negativo, los signos ya mencionados no se mantienen. Ejemplo...

16x-3<4x   (al multiplicar ambos miembros de la inecuacion por -2)

-32x+6>-8x 

puff un gusto ayudarte. Saludos.

Muchas gracias Gabriel, Silvio y Sandy!

Muy buena explicación AntonioSilvio por tu parte, muchisimas gracias a los 3 !!:D

Observa que tienes treinta puntos en total, de los cuales veinticinco no están alineados de a tres, y cinco que si están todos alineados.

Llamemos A al conjunto de los puntos que no están alineados de a tres, y llamemos B al conjunto de puntos que están todos alineados.

a) Observa que podemos construir tres clases de triángulos:

1) Los que tienen los tres vértices pertenecientes al conjunto A, que en total son:

N₁ = C(25,3) = 25! / 3!22! = 2300.

2) Triángulos con dos vértices pertenecientes al conjunto A y un vértice perteneciente al conjunto B, que en total son:

N₂ = C(25,2)*C(5,1) = (25! / 2!23!) * (5! / 1!4!) = 300*5 = 1500.

3) Triángulos con un vértice perteneciente al conjunto A y dos vértices pertenecientes al conjunto B, que en total son:

N₃ = C(25,1)*C(5,2) = (25! / 1!24!) * (5! / 2!3!) = 250.

Luego, por el principio de adición, la cantidad de triángulos queda:

N = N₁ + N₂ + N₃ = 2300 + 1500 + 250 = 4050.

b) Observa que podemos construir tres clases de rectas:

1) Rectas determinadas por dos puntos pertenecientes al conjunto A, que en total son:

n₁ = C(25,2) = 300.

2) Rectas determinadas por un punto perteneciente al conjunto A y un punto perteneciente al conjunto B, que en total son:

n₂ = C(25,1)*C(5,1) = 125.

3) Rectas determinadas por dos puntos pertenecientes al conjunto B, y como están alineados todos los puntos del conjunto, tenemos en total:

n₃ = 1.

Luego, por el principio de adición, la cantidad de rectas queda:

n = n1 + n2 + n3 = 300 + 125 + 1 = 426.

Espero haberte ayudado.

Tus respuestas son la mejores, nunca dan lugar a dudas.
Gracias!!!

Hola Sonia,

Te doy unas indicaciones para que puedas plantear el problema.

1. Tienes dos puntos, por lo que podrás sacar la recta que pasa por ambos puntos.  (X - X₁)/(X₂-X₁) = (Y - Y₁)/(Y₂ - Y₁) (Ojo con la prioridad de los signos y operaciones).

2. Te dará una recta con pendiente negativa del tipo Y = mx + n (donde n será un número negativo).

3. Con la recta, sólo tendría que sustituir los valores X = 0,9 y X = 1,15 y obtendrías los valores de Y. 

(Sol: 14 y 23)

las respuestas son 14 y 9 respectivamente sigue las pautas anteriores  y tus respuestas deberían ser esas

Hola Roberto,

Gracias por la respuesta. No tengo que representarlas, sino plantear las dos ecuaciones. Sé que me tiene que dar por logica 14 y 9 pero al plantear las ecuaciones no sale. lo tengo asi:

A (0, 12) Y = mx + n -> 12= m0 + n -> n=12

B (-0,4, 20) m(-0,4) + 12 -> m= - 62

Cuando sustituimos Y= -62 x -0,01 - 12   No sale el resultado.

¿cual es el error del planteamiento de A y B?

Hola Sonia,

Perdona que no te haya respondido antes, pero es que soy nuevo y aún me pierdo con los mensajes y las notificaciones. Te adjunto una imagen donde se ve paso a paso como encontrar la ecuación de la recta. Espero que te sea útil.

Hola, espero ayudarte:)