El resultado de libro no es correcto. El rango de la matriz ampliada es, o bien igual que el rango de la matriz de coeficientes, o bien UNA UNIDAD mayor. 

Comprueba por Gauss que el sistema es compatible determinado.

Puedes aplicar la propiedad del logaritmo de una división:

ln( x/(x+1) ) = lnx - ln(x+1),

luego sustituyes y la integral queda:

I = ∫ ln ( x/(x+1) )dx =  ∫ (  lnx - ln(x+1) )dx,

separas en términos y queda:

I = ∫ lnx dx - ∫ ln(x+1)dx.(*)

Luego, observa que puedes resolver las dos integrales con el método de integración por partes

a) en la primera planteamos:

u = lnx, de donde tienes: du = dx/x,

dv = 1dx, de donde tienes: v = x,

luego pasamos a la integral:

 ∫ lnx dx = xlnx - ∫ x dx/x = xlnx -  ∫ 1dx = xlnx - x + C; (**)

b) en la segunda integral planteamos:

u = ln(x+1), de donde tienes: du = dx/(x+1),

dv = dx, de donde tienes: v = x,

luego pasamos a la integral:

 ∫ ln(x+1) dx = xln(x+1) - ∫ x dx/(x+1) = xln(x+1) -  ∫ ( 1 - 1/(x+1) )dx = xln(x+1) - x - ln(x+1) + C. (***)

Por último, sustituimos las expresiones señaladas (**) (***) en la expesión señalada (*) y queda:

I = ∫ lnx dx - ∫ ln(x+1)dx = xlnx - x - ( xln(x+1) - x - ln(x+1) ) + C = xlnx - x - xln(x+1) + x + ln(x+1) ) + C,  

cancelamos términos opuestos y llegamos a:

I = xlnx - xln(x+1) + ln(x+1) ) + C.

Espero haberte ayudado.

Vamos con una orientación: en los dos ejercicios debes plantear fracciones parciales, y observa que el denonimandor tiene un factor doble de segundo grado.

a) Planteamos:

(x³+x-1)/(x²+1)² = (ax + b)/(x²+1) + (cx + d)/(x²+1)² = extraemos denominador común:

= ( (ax + b)(x²+1) + cx + d )/(x²+1)² , luego comparamos numeradores y queda la igualdad entre polinomios:

(ax + b)(x²+1) + cx + d = x³ + x - 1

Luego, como tenemos cuatro coeficientes para determinar, evaluamos para cuatro valores arbitrarios, por ejemplo: x = 0, 1, -1, 2, y queda el sistema de ecuaciones:

b + d = -1

2(a + b) + c + d = 1

2(-a + b) - c + d = -3

5(2a + b) + 2c + d = 9

Luego, queda para que resuelvas el sistema y continúes la tarea.

b) El planteo es el mismo, lo haces y llegarás a la igualdad entre polinomios:

(ax + b)(x²+1) + cx + d = 1

Luego, evalúas para los mismos valores de x del ejercicio anterior, y queda el sistema de ecuaciones:

b + d = 1

2(a + b) + c + d = 1

2(-a + b) - c + d = 1

5(2a + b) + 2c + d = 1.

Haz el intento de terminar el trabajo, y si te es necesario puedes volver a consultar.

Espero haberte ayudado.

Puedes comenzar por separar en términos, y extraer factor constante en el segundo término, y la integral queda:

I = ∫ 1dθ + 2 ∫ cos(2θ)dθ = θ + sen(2θ) + C.

Observa que la integral para el segundo miembro puedes resolverla con la sustitución:

w = 2θ, de donde tienes: dw = 2dθ, y luego tienes: dw/2 = dθ, luego sustituyes y el segundo término queda:

2 ∫ cos(2θ)dθ = 2  ∫ cos(w)dw/2 = 2(1/2) ∫ cos(w)dw = 1sen(w) + C = sen(2θ) + C.

Espero haberte ayudado.

Los enunciados son equivalentes, y procedes bien para plantear y calcular un vector normal al plano.

Espero haberte ayudado.

Derivamos término a término con respecto a x (observa que en el segundo término del primer miembro debemos aplicar la regla de la cadena):

cos(x) - 2sen(2y)*2y ' = 0, hacemos pasaje de término, resolvemos coeficientes en el primer miembro y queda:

- 4sen(2y)*y ' = - cos(x), hacemos pasaje de factor como divisor y queda:

y ' = cos(x) / 4sen(2y), con la condición: 4sen(2y) ≠ 0.

Espero haberte ayudado.

Observa que la sumatoria corresponde a la suma inferior para la integral de la función cuya expresión es : f(x) = x³, en el intervalo [-1,1], cuyo resultado es 0.

Luego pasamos a la sumatoria. Si desarrollas el binomio elevado al cubo,  queda:

( - 1 + 2i/n )³ =  - 1 + 6i/n - 12i²/n² + 8i³/n³ .

Luego, planteamos el argumento de la sumatoria:

( - 1 + 2i/n )³(2/n) = ( - 1 + 6i/n - 12i²/n² + 8i³/n³ )(2/n) = - 2/n + 12i/n² - 24i²/n³  + 16i³/n⁴.

Luego pasamos a la sumatoria entre 0 y (n-1): separamos en términos, extraemos factores constantes, y queda:

∑( - 1 + 2i/n )³(2/n) = - (2/n)∑1 + (12/n²)∑i - (24/n³)∑i² + (16/n⁴)∑i³ = 

luego resolvemos sumatorias (puedes probar por inducción completa) y queda:

= - (2/n)(n -1) + (12/n²)(n - 1)n/2 - (24/n³)(n - 1)n(2n - 1)/6 + (16/n⁴)(n -1)²n²/4 =

simplificamos divisores y factores en cada término:

= - (2/n)(n -1) + (6/n)(n - 1) - (4/n²)(n - 1)(2n - 1) + (4/n²)(n -1)² =

reducimos los dos primeros términos y extraemos factor común en los dos últimos:

= (4/n)(n - 1) + (4/n²)(n - 1)( - (2n - 1) + n - 1) =

reducimos el último factor en el segundo término:

= (4/n)(n - 1) + (4/n²)(n - 1)(- n) =

distribuimos divisores en cada término y resolvemos el signo en el segundo término:

= 4(1 - 1/n) - 4(1 - 1/n) = 0.

Observa que ahora puedes tomar el límite cuando n tiende a + infinito, y queda:

Lím(n->+inf) ∑( - 1 + 2i/n )³(2/n) = 

= Lím(n->+inf) ( 0 ) = 0.

Espero haberte ayudado.

Genial Antonio.

Porque vale x^3 la funcion???

como se obtiene eso???

Observa el argumento de la sumatoria:

el factor (2/n) nos da la longitud de un subintervalo, al haber dividido un intervalo de longitud 2 en n partes;

el otro factor, nos indica que el intervalo comienza en x = -1, y se evalúa la función en cada uno de los extremos izquierdos de los subintervalos, los que son:

- 1 + 0*2/n, -1 + 1*2/n, -1 + 2*2/n, -1 + 3*2/n, ..., -1 + (n-1)*2/n, observa que contamos desde 0 hasta (n-1).

Luego, como tenemos en el argumento: (-1 + 2i/n)³, es de aquí de donde concluimos que la función tiene expresión f(x) = x³.

Recuerda que en los argumentos de la sumas de Riemann tenemos productos de la forma: f(x_i)*(b - a)/n, para el intervalo [a,b], con xi elemento de cada subintervalo (en este ejercicio que vimos son los extremos izquierdos).

Espero haberte ayudado.

Vamos con una orientación.

Llamemos O al centro de la circunferencia.

Observa que el triángulo COD es isósceles: |CO| = |OD| = 2, y |CD| = √(3). Luego planteamos el Teorema del Coseno para calcular la medida del ángulo α, correspondiente al vértice O:

|CD|² = |C0|² + |OD|² - 2|CO||OD|cosα, reemplazamos, resolvemos términos y queda:

3 = 4 + 4 - 8cosα, de donde podemos despejar:

cosα = 5/8, que corresponde al ángulo cuya medida es: α ≅ 51,32°.

Luego, si llamamos β al ángulo con vértice B en el triángulo CBA, y si llamamos γ al ángulo con vértice C en el triángulo DCA, tenemos:

α es un ángulo central, β es un ángulo inscripto, y γ es un ángulo semiinscripto en la circunferencia, por lo que tenemos para sus medidas:

"el ángulo inscripto mide la mitad del ángulo central correspondiente": β = α/2 ≅ 25,66°;

Haz el intento de continuar a partir de aquí, y si te es necesario, puedes volver a consultar.

Espero haberte ayudado.

"el ángulo semiinscripto mide la mitad del ángulo central correspondiente": γ = α/2 ≅ 25,66°;

luego haz el intento de continuar a partir de aquí y, si te es preciso, puedes volver a consultar.

Espero haberte ayudado.

Si la ecuación es: 4x²y - 3y = x³ - 1, derivamos término a término y queda:

8xy + 4x²y ' - 3y ' = 3x², hacemos pasaje de término y queda:

4x²y ' - 3y ' = 3x² - 8xy, extraemos factor común en el primer miembro y queda:

y ' (4x² - 3) = 3x² - 8xy, hacemos pasaje de factor como divisor y llegamos a:

y ' = (3x² - 8xy) / (4x² - 3), con la condición: 4x² - 3 ≠ 0.

Espero haberte ayudado.

Hola, gracias de nuevo por la ayuda pero una pregunta, por que al momento derivar 4x^2y que es 8xy' pusiste de nuevo 4x^2y' si se supone que ya esta derivada?, por favor es mi unica duda en lo que concierna.

Es que yo lo hago por un metodo en el cual donde este la y tambien se deriva con y', entonces si ya derive 4x^2y no quedaria 8xy' y ya no se podria 4x^2y?

Vamos, como ejemplo, con la derivada del primer término con respecto a x. Planteamos:

( 4x²*y) ' = aplicamos la regla de la derivada de un producto = (4x²) ' * y + 4x² * (y) ' = 8x * y + 4x² * y '.

Espero haberte ayudado.

¿¿??