a) La representación gráfica es una parábola (en el gráfico cartesiano con eje de abscisas Ot, y eje de ordenadas Os).

b) Planteamos la función derivada:

s ' (t) = - 32t + 144, luego planteamos la condición de punto crítico (posible máximo o posible mínimo):

s ' (t) = 0, sustituimos y queda:

- 32t + 144 = 0, de donde despejamos:

t = 144/32 = 4,5 seg.

Luego, planteamos la función derivada segunda:

s ' ' (t) = - 32 < 0, por lo que tenemos que la gráfica de la función es siempre cóncava hacia abajo, y tenemos que alcanza un máximo para t = 4,5,

evaluamos y queda: s(4,5) = -16*4,5² + 144*4,5 + 100 = 424 pies, que es la altura máxima que alcanza el proyectil.

Luego, planteamos la condición de raíz de la función par encontrar el instante en que toca el suelo (consideramos que la ordenada cero corresponde al nivel del piso):

s(t) = 0, sustituimos y queda: 

-16t² +144t +100 = 0, dividimos en todos los términos de la ecuación por -16 y queda:

t² - 9t - 25/4 = 0, observa que es una ecuación polinómica cuadrática, aplicamos la fórmula resolvente y tenemos:

1) t ≅ 9,65 seg;

2) t ≅ - 0,65, que no tiene sentido para este problema, ya que t toma valores positivos. 

Espero haberte ayudado.
 

Gracias, muchas gracias. Solo quiero saber por qué el 32; si el 16 está elevado al cuadrado?

a) Observa que a partir del intervalo de integración, tenemos para el numerador:

e¹ ≤ e^x ≤ e²

que equivale a la doble inecuación:

e² ≥ e^x ≥ e

luego, la expresión tenemos para la expresión de la función:

e^x/(x² - 1) ≥ e/(x² - 1)

Luego tenemos (llamamos I a la integral original, y llamamos Ic a la integral de comparación:

I ≥ Ic = ∫ ( e¹/(x² - 1) )dx = e¹ ∫ ( 1/(x² - 1) )dx = resolvemos por fracciones simples:

= e( (1/2)ln|x-1| - (1/2)ln|x+1| ), que puedes probar que diverge en el intervalo (1,2], por lo que tenemos que la integral I es divergente.

b) Observa que tenemos la doble inecuación:

- 1 ≤ senx ≤ 1, sumamos 3 en todos los miembros y queda:

2 ≤ senx + 3 ≤ 4, que es equivalente a la doble inecuación:

4 ≥ senx + 3 ≥ 2

Luego, planteamos la integral de comparación (llamamos I a la integral inicial):

I ≥ Ic = ∫ (2/x)dx = 2ln|x|, que puedes probar que diverge en el intervalo [2,+inf), por lo que tenemos que la integral I es divergente.

Espero haberte ayudado.

Antonio, la verdad impecable. Ahora sí entendí. Voy a intentar encarar estos problemas de esa forma, intentando acotar. Muchisimas gracias en serio. Pocas personas pueden responder este tipo de dudas, gracias por ser una de ellas. 

Componentes de AB:

Primera:  5-(-2)=7

Segunda: 3-8=-5

Módulo:

Taíz cuadrada de 7²+(-5)²=√(49+25)=√74

Para poder efectuar la composición, los valores que salen de g (Im(g)) han de poder "entrar" en f (Dom(f)). Por tanto, la b) es la correcta

El módulo es -a y el argumento es π

No es correcto, Melisa. En un punto de inflexión se anula la segunda derivada (esto es, la derivada de la derivada).

Así? 

no se entiende foto o original por favor

Como hacer esta derivada "a pelo" es horroroso, vamos a aplicar logaritmos (neperianos) antes de derivar para aprovechar sus propiedades. Luego derivamos implícitamente.