Está bien.

Has contestado correctamente ambos incisos.

Puedes comenzar por resolver el segundo miembro, y la ecuación queda:

(1/3)log₃x = 1/9, luego multiplicas por 3 en ambos miembros, resuelves el segundo miembro y queda:

log₃x = 1/3, luego compones en ambos miembros con la función inversa del logaritmo en base 3 y queda:

x = 3^1/3, luego puedes expresar como raíz y queda:

x = ∛(3).

Espero haberte ayudado.

Observa que el último término tiende a π/2, ya que el argumento del arco-tangente tiende a + infinito.

Luego, nos quedan para resolver los dos términos logarítmicos, para ello, vamos a extraer factor común en sus argumentos, los tratamos por separadao:

- log(x + 1) = - log( x(1 + 1/x) ) = - ( logx + log(1 + 1/x) ) = - logx - log(1 + 1/x);

(1/2)log(x² + 4) = (1/2)log( x²(1 + 4/x²) ) = (1/2)( log(x²) + log(1 + 4/x²) ) = (1/2)( 2logx + log(1 + 4/x²) ) = logx + (1/2)log(1 + 4/x²).

Luego, planteamos los dos primeros términos juntos:

- log(x + 1) + (1/2)log(x² + 4) = - logx - log(1 + 1/x) + logx + (1/2)log(1 + 4/x²) = cancelamos términos opuestos:

= - log(1 + 1/x) + (1/2)log(1 + 4/x²) = aplicamos la propiedad del logaritmo de una division:

= log( (1 + 4/x²) / (1 + 1/x) ).

Luego, la expresión del enunciado podemos escribirla en dos términos:

Lím(x->+inf)  log( (1 + 4/x²) / (1 + 1/x) ) + Lím(x->+inf) ( arctan(x/2) ) =

Observa que el argumento del logaritmo tiende a 1, y como ya hemos dicho, el argumento del arco-tangente tiende a + infinito:

= 0 + π/2 = π/2.

Espero haberte ayudado.

Observa que debe cumplirse: log_x2 ≠  -1.

Luego, comencemos hacemos pasaje de divisor como factor y queda:

1 + log₂x = 1 + log_x2, cancelamos términos y queda:

log₂x = log_x2, luego comparamos argumentos, y comparamos bases y queda:

x = 2, y observa que se cumple la condición que enunciamos al comienzo: log₂2 = 1 ≠ -1.

Espero haberte ayudado.

Observa que por medio de la división del numerador por el denominador, la expresión de la función puede escribirse.

g(x) = x - x/(x² + 1) = x - x(x² + 1)^-1, también observa que el dominio de la función es R.

Luego pasamos a plantear la expresión de su derivada primera:

g ' (x) = 1 - (x² + 1)^-1 + 2x²(x² + 1)^-2, observa que está definida para todo R.

Luego pasamos a plantear la expresión de su derivada segunda, que luego de operar queda:

g ' ' (x) = 6x(x² + 1)^-2 - 8x³(x² + 1)^-3, observa que también está definida en todo R.

Luego planteamos la condición de posible punto de inflexión:

g ' ' (x) = 0, sustituimos y queda:

6x(x² + 1)^-2 - 8x³(x² + 1)^-3 = 0, hacemos pasaje de término y queda:

6x(x² + 1)^-2  = 8x³(x² + 1)^-3 ,  expresamos como fracciones y queda:

6x / (x² + 1)²  = 8x³ / (x² + 1)³ , hacemos pasaje de divisor como factor, simplificamos y queda:

6x(x² + 1) = 8x³ , distribuimos el primer miembro, hacemos pasaje de término y queda:

6x³ + 6x - 8x³ = 0, dividimos en todos los términos de la ecuación por 2, reducimos términos semejantes y queda:

- x³ + 3x = 0, extraemos factor común en el primer miembro y queda:

- x(x² - 3) = 0, multiplicamos por -1 en ambos miembros, factorizamos el agrupamiento y queda:

x( x - √(3) )( x + √(3) ) = 0, luego por anulación de un producto, tienes en cada factor una raíz:

x = 0

x = √(3)

x = - √(3)

Luego, queda para que estudies el signo de la derivada segunda en los intervalos:

( -inf , - √(3) )

( - √(3) , 0 )

( 0 , √(3) )

( - √(3) , +inf )

tarea que puedes realizar evaluando con un valor representante en cada uno de ellos (te dejo el trabajo para que lo concluyas).

Espero haberte ayudado.

Holas, perdonad la mala calidad( es lo mas que puedo hacer :D ya que no tengo escáner ni celular por el momento), espero lo logres entender

Finalmente lo que tienes que hacer es: Los puntos criticos que te hallas resultado en la primera derivada los evaluas en la segunda derivada, si te sale un numero > 0 es porque en un minimo, si te resulta un numeroz < 0 es porque hay un maximo.

Ejemplo:

Si un punto critico de la primera derivada fuese x=1 y evaluado en la funcion original te resulta f(x)= 2 , entonces (1.2) es un posible extremo, y supongamos que x=1 evaluado en la segunda derivada te da cualquier numero(nos importa el signo) negativo(< 0), esto quiere decir que en (1.2) hay un maximo (si lo contrario xD).

 PD: Espero haberte ayudado xD , saludos :D.

Hola! Muchísimas gracias por responder, pero sería tan amable , si no es mucha molestia, de sacar la fotografía de nuevo con más luz. Es que no consigo comprender bien del todo los términos. 

Muchisímas gracias otra vez!

Holas, lo primero que teneis que hacer es calcular la primera derivada y esta igualarla a 0(f(x)´=0) para obtener los puntos criticos, estos los evaluas en la funcion original f(x)(para obtener y),luego 

para comprobar que tu (x,y) es un extremo(maximo o minimo) calculas la segunda derivada y esta la evaluas(el x) en los puntos criticos que te hallas resultado de la primera derivada y si te resulta un numero(cualquiera) > 0 entonces es porque es un minimo, de lo contrario( un numero < 0 ) es porque es un maximo

PD: Recordad que el numero que te resulte de evaluar en la segunda no nos interesa solo su signo para saber si es un maximo o minimo, si te resultase un 0 es por que el criterio de la segunda derivada  no decide nada sobre el numero critico x=0, en este caso solo se recurre al criterio de la primera derivada(evaluar en los intervalos el crecimiento y decrecimiento) como bien lo sabes hacer :)

Espero haberte ayudado, saludos :D

Vamos con una orientación. Observa que el denominador tiene un factor simple y uno doble, ambos de grado 1, por lo que planeamos:

a/x + b/(x-1) + c/(x-1)² = 1 / x(x-1)², extraemos denominador común en el primer miembro y queda:

( a(x-1)² + bx(x-1) + cx ) /  x(x-1)² = 1 / x(x-1)², comparamos numeradores y queda la igualdad entre polinomos:

a(x-1)² + bx(x-1) + cx = 1, luego evaluamos en tres valores distintos, por ejemplo 1, 0 y -1, lo hacemos y queda el sistema de ecuaciones:

c = 1

a = 1

4a + 2b - c = 1, de donde tienes: b = -1.

Luego, puedes pasar al cálculo de la integral:

I = ∫ dx/ (x(x-1)²) = ∫ dx/x - ∫ dx/(x-1) + ∫ dx/(x-1)² , resolvemos y queda:

I = ln|x| + ln|x-1| - 1/(x-1) + C.

Espero haberte ayudado.

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