Consideremos el caso: 1) a = 0.

0   -2    1   -1

3    0    0   0

4   -1    1   0

A la fila 2 la multiplicamos por 1/3:

0   -2    1   -1

1    0    0   0

4   -1    1   0

A la fila 3 le restamos el cuádruple de la fila 2:

0   -2    1   -1

1    0    0   0

0   -1    1   0

A la fila 1 le restamos el doble de la fila 3:

0    0   -1   -1

1    0    0   0

0   -1    1   0

A la fila 3 le sumamos la fila 1:

0    0   -1   -1

1    0    0   0

0   -1    0  -1

Luego, concluimos que en este caso, el rango de la matriz es 3, para a = 0.

Consideremos ahora el caso: 2) a ≠ 0. Tenemos la matriz:

a       -2        1        -1

3        a        0       2a 

4       -1        1         a

Observa que tenemos tres filas y cuatro columnas, por lo que el rango puede ser a lo sumo igual a 3.

Planteamos el determinante de orden 3 formado por los tres primeros elementos de las filas (están remarcados), desarrollas y queda:

D₃ = a² - 4a + 3, factorizamos y queda:

D₃ = (a - 1)(a - 3), luego tenemos tres casos:

1) D₃ ≠ 0, que corresponde a: a ≠ 1 y a ≠ 3, y el rango de la matriz es 3.

2) D₃  = 0, que nos conduce a dos opciones: 2a) a = 1, y 2b) a = 3 (para los que el rango de la matriz será menor que 3), que estudiamos por separado:

2a) Reemplazamos y la matriz queda:

1       -2        1       -1

3        1        0        2

4       -1        1        1

Observa que la fila 3 es igual a la suma de la fila 1 con la fila 2, luego, tomamos el determinante formado por los dos primeros elementos de las dos primeras filas. lo desarrollas y queda:

D₂ = 1 + 6 = 7 ≠ 0, por lo que tenemos que el rango de la matriz es 2.

2b) Reemplazamos y la matriz queda:

3       -2        1       -1

3        3        0        6

4       -1        1        3

A la fila 2 la multiplicamos por 1/3 y queda:

3       -2        1       -1

1        1        0        2

4       -1        1        3

Observa que la fila 3 es la suma de la fila 1 con la fila 2, luego tomamos el determinante formado por los dos primeros elementos de las dos primeras filas, lo desarrollas y queda:

D '₂ = 3 + 2 = 5 ≠ 0, por lo que tenemos que el rango de la matriz es 2.

Espero haberte ayudado.

:

g) Veamos el numerador y el denominador del primer miembro por separado:

N = sena + cotga = sena + cosa/sena = ( sen²a + cosa)/sena;

D = tana + coseca = sena/cosa + 1/sena = ( sen²a + cosa )/ sena•cosa;

luego planteamos para el primer miembro:

N/D = observa que se simplifican los numeradores = sena•cosa/sena = cosa.

Luego, veamos el segundo miembro:

sena•cotga = sena•cosa/sena = cosa.

h) Veamos el segundo miembro. Distribuimos el denominador y queda:

sen²a/cos²a + sena•cosa/cos²a + cos²a/cos²a = 

aplicamos propiedad de un cociente de potencias con exponentes iguales en el primer término, simplificamos en los demás términos y queda:

= (sana/cosa)² + sena/cosa + 1 =

aplicamos identidad trigonométrica de la tangente en el primer término y queda:

= tan²a + tana + 1 =

ordenamos términos y llegamos a:

= 1 + tana + tan²a.

Espero haberte ayudado.

(1/senx).(cosx/cosx)= (cosx/senx).(1/cosx) = 1/(tanx. cosx)...
Si haces t=tanx... dt=(1/cos²x).dx... dx=cos²x. dt...
Al sustituir... ∫[1/(t.cosx)].[cos²x. dt] = ∫ dt.cosx / t
Como sec²x= 1/cos²x = 1+tan²x... cos²x= 1/(1+tan²x)... cosx=1/√(1+tan²x)

Al sustituir...  ∫ dt.[1/√(1+t²)] / t = ∫ dt./(t.√(1+t²)) .. Y ahora intenta acabarla ¿ok?

No tiene sentido que te pidan ese cambio de variable, pero bueno...

2) Has planteado y resuelto bien el límite del término general a_n, que tiende a +infinito y, por lo tanto, la serie diverge.

4) Has aplicado el criterio de la raíz y has resuelto bien el límite, por lo que has concluido correctamente que la serie convergen en todo R.

En el otro ejercicio: observa el término general:

a_n = 6 / 3ⁿ = 6•(1/3)ⁿ 

Luego, la serie queda:

∑(n=0,+inf) ( 6 / 3ⁿ  ) = ∑(n=0,+inf) (  6•(1/3)ⁿ ) = 6 ∑(n=0,+inf) ( (1/3)ⁿ ) = observa que es una serie geométrica con razón 1/3, y observa que -1< 1/3 < 1:

= 6( 1 / (1 - 1/3) ) = 6( 1 / (2/3) ) = 6(3/2) = 9, por lo que concluimos que la serie converge a 9.

En el último ejercicio, has identificado a la "serie p" correctamente, ya que tienes p=5, por lo que resulta ser convergente.

Espero haberte ayudado.

Marli, ese enunciado se corresponde con una integral de Fresnel y la resolución de este ejercicio excede con mucho las competencias de esta página.

Planteamos las ecuaciones de movimiento. Definimos un sistema cartesiano, con eje OX (O -> E), y eje OY (S -> N), llamamos t al tiempo desde la partida de los móviles, y sabemos que ambos parten desde el origen de coordenadas.

Para el primer móvil (observa que su dirección de movimiento forma un ángulo de 0° con el semieje OX positivo):

x = 10*cos0°*t

y = 0,

resolvemos factores y queda:

x = 10t

y = 0

Para el segundo móvil, llamamos v a su rapidez (observa que su dirección de movimiento forma un ángulo de 60° con el semieje OX positivo):

x = v*cos60°t

y = v*sen60°t, resolvemos factores y queda:

x = (1/2)vt

y = (√(3)/2)vt

Luego, observa que para que el segundo móvil esté constantemente y exactamente al norte del primer móvil, debe cumplirse que las abscisas de sus puntos de posición sean iguales, por lo que planteamos:

(1/2)vt = 10t, luego comparamos expresiones y tenemos:

(1/2)v = 10, multiplicamos por 2 en ambos miembros y llegamos a:

v = 20 m/s

Y con esta rapidez, las ecuaciones de movimiento del segundo móvil quedan:

x = 10t

y = 10√(3)t.

Espero haberte ayudado.

Sustituimos en el segundo miembro de la ecuación, a partir de la identidad: sen2x = 2senxcosx y queda:

4senx = 2senxcosx, dividimos por 2 en ambos miembros y queda:

2senx = senxcosx, hacemos pasaje de término y queda:

2senx - senxcosx = 0, extraemos factor común y queda:

senx(2 - cosx) = 0, luego, por anulación de un producto, tenemos dos opciones:

a) senx = 0, que corresponde a: x = 0, 180°, 360°, 540°, ..., en general: x = 180°•k, con k ∈ Z.

b) 2 - cosx = 0, despejamos y queda: 2 = cosx, que no tiene solución real, ya que el coseno toma valores comprendidos entre -1 y 1.

Por lo tanto, el conjunto solución queda: S = { x ∈ R / x = 180°•k, con k ∈ Z }.

Espero haberte ayudado.

Pasa también ejercicios de morfosintaxis, música y geografía...que nadie tenemos que hacer tarea :)

El 1º:

Es posible, pues una matriz 3x3, al multiplicarla por otra 3x2, da una matriz 3x2.

´Término general:

(2ⁿ )/ (2n-1)

Se trata de una sucesión divergente, pues el infinito exponencial del numerador crece infinitamente más deprisa que el infinito lineal del denominador.

La serie correspondiente es, pues, también divergente.

a) Observa que el límite es indeterminado, ya que el numerador tiende a cero y el denominador tiende a cero.

Luego, planteamos:

N = ax, y su derivada primera queda: N ' = a,

D = e^x - 1, y su derivada primera queda: D ' = e^x

Luego, aplicamos la Regla de L'Hôpital:

Lím(x-->0) N/D = Lím(x-->0) N ' / D ' = Lím(x-->0) a/e^x = a/1 = a = 4.

b) Observa que el límite es indeterminado, ya que el numerador tiende a cero y el denominador tiende a cero.

Luego planteamos:

N = cos²ax - 1, cuya derivada primera queda:

N ' = -2acosaxsenax = -asen(2ax), luego su derivada segunda queda:

N ' ' = - 2a²cos(2ax).

D = sen²x, luego su derivada primera queda:

D ' = 2senxcosx = sen(2x), y su derivada segunda queda:

D ' ' = 2cos(2x).

Luego, aplicamos la Regla de L'Hôpital:

Lím(x-->0) N/D = Lím(x-->0) N ' / D ' = observa que continúa siendo indeterminado:

= Lím(x-->0) N ' ' / D ' ' = Lím(x-->0) -2a²cos(2ax) / 2cos(2x) = -2a²/2 = - a²= -1,

luego multiplicamos por -1 en la última igualdad, despejamos y tenemos dos opciones.

a₁ = -1, a₂ = 1.

Espero haberte ayudado.