Esto es correcto?

Perfecto, excepto el último paso:

-1+(√3/2) = (-2+√3)/2    (te falta dividir el resultado entre 2)

En la primera línea, si quisieras ponerlo en función de logaritmos tambien tendrias que aplicarlo al 30 del otro lado de la igualdad (cosa que no has hecho y por lo tanto es incorrecto)...entonces nos quedaria el log₁₀30, que no nos conviene...ya que "un número que sea el exponente de 10 y nos dé como resultado 30" tiene decimales y nos lo complicaría más.

La manera de proceder sin complicaciones es sustituir 3^x por una letra "a" y aplicar las propiedades de las potencia: EJEMPLO:    3^x+2 = 3^x * 3²  = 3^x * 9 = a * 9 = 9a

RESOLUCIÓN:

3^x + 3^x+2 = 30

a + 9a = 30

10a=30

a=3

a = 3^x = 3 = 3¹     --------------> x=1

((puedes comprobar que el resultado es el correcto sustituyendo x=1 en la igualdad original: 3¹ + 3¹⁺² = 30 ------>   3¹ + 3³  = 30  --------> 3+27=30----> 30 =30))

Va el 1º: 

El 2º:

Observa que puedes escribir la expresión de la función como potencia con exponente negativo:

f(x) = (x^2 + 3)^(-1),

observa que tienes una composición de funciones (una potencia cuyo argumento es un binomio), por lo que debes derivar con regla de la cadena:

f ' (x) = - (x^2 + 3)^(-2) * 2x = ordenamos factores = -2x * (x^2 + 3)^(-2) (*);

luego, observa que tienes un producto, y en el segundo factor una composición de funciones, por lo que al volver a derivar queda.

f ' ' (x) = -2 * (x^2 + 3)^(-2) - 2x * (-2)*(x^2 + 3)^(-3) * 2x = operamos en el segundo término:

= -2 * (x^2 + 3)^(-2) + 8x^2 * (x^2 + 3)^(-3) = extraemos factor común:

= -2*(x^2 + 3)^(-3) * (x^2 + 3 + 8x^2) = -2*(x^2 + 3)^(-3) * (9x^2 + 3) = extraemos factor común numérico en el tercer factor y ordenamos factores:

= - 6*(3x^2 + 1)*(x^2 + 3)^(-3) (**).

Luego, si prefieres, puedes escribir las expresiones señaladas (*) (**) como expresiones fraccionarias, y quedan:

f ' (x) = -2x / (x^2 + 3)^2

f ' ' (x) = - 6(3x^2 + 1) / (x^2 + 3)^3.

Espero haberte ayudado.

Observa bien en tu última línea, cuando aplicas la Hipótesis Inductiva, queda la expresión:

n*(n+1)! + ( (n+1)^2+ 1 )*(n+1)! = extraes factor común y queda:

= (n+1)! * ( n + (n+1)^2 + 1) = ordenamos y asociamos términos en el agrupamiento:

= (n+1)! * ( (n+1)^2 + (n+1) ) = extraemos factor común en el agrupamiento:

= (n+1)! * (n+1) * ( n + 1 + 1) = resolvemos el tercer agrupamiento y ordenamos factores:

= (n+2)*(n+1)! * (n+1) = multiplicamos los dos primeros factores, ordenamos factores y llegamos a:

= (n+1) * (n+2)! 

Espero haberte ayudado.

Me encantaría ayudarte, pero no respondo dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los videos que ya he grabado como excepcion. Lo siento de corazón… Espero lo entiendas

De ese tipo tienes varios vídeos que te vendrán genial... Los encontrarás en esta lección... ALGEBRA Matriz de Cambio de Base 01

Te la echamos, FATALITICO:

5625=3^2 · 5^4 

root(4) (5625) =5· root(4) (3^2) 

=5·sqrt(3)

Aquí tienes, Carlos:

Por favor, envía una foto con el enunciado completo para que podamos ayudarte.

El ejercicio fue dictado... pero lo que me pide es calcular en cada función la derivada de X suponiendo que Y es constante y al revés. 

En el primer ejemplo al calcular la derivada de Y:  Al ser X constante no tengo que derivarla y solo derivo "5y" que se quedaría en 5. 

Pero no sé como hacer el apartado 3 y 4 

Debes expresar al vector genérico de R {3) como combinación lineal de los vectores <1,0,0>, <0,1,0> y <0,0,1> y luego transformar. Y como sabes que la transformación es lineal, recuerda que puedes transformar cada término por separado y,en cada término, puedes extraer el múltiplo escalar. 

Tenemos:

<x,y,z> = <x,0,0> + <0,y,0> + <0,0,z> = x<1,0,0> + y<0,1,0> + z<0,0,1>.

Luego aplicamos la transformación, y sus propiedades:

f(x,y,z) = xf(1,0,0) + yf(0,1,0) + zf(0,0,1) = reemplazamos por los vectores transformados y queda:

= x<2,-1,1,1> + y<3,-1,1,0> + z<0,0,4,1> = resolvemos los productos entre escalar y vector en cada término:

= <2x,-x,x,x> + <3y,-y,y,0> + <0,04z,z> = resolvemos la suma entre vectores y llegamos a:

= <2x+3y,-x-y,x+y+4z,x+z>.

Por lo tanto, concluimos que la expresión para la transformación lineal es:

f(x,y,z) = <2x+3y,-x-y,x+y+4z,x+z>.

Espero haberte ayudado.