Para este tipo de ejercicio con elementos indeterminados expresados con la indeterminada t (theta), debes distinguir dos casos:
1) t = 0, sustituyes y queda una matriz con todos elementos numéricos que podrás reducir y escalonar fácilmente, y verás que su rango es 3;
2) t distinto de 0
Aquí es donde debes aplicar las operaciones elementales, y se arrastrarán expresiones con t a lo largo de la tarea:
|°) F3-->F3-F2 (obseva que los elementos de fila 3 quedan: < 0 , 0 , (t-1) >)
2°) F2-->3F2-tF1 (observa que los elementos de fila 2 quedan: < 0 , (9+t^2) , 3 >
Observa que el segundo elemento de fila 2 es distinto de cero por ser suma de términos positivos, por lo que planteamos:
3°) F1-->(9+t^2)F1+tF2 (si vas siguiendo todo con lápiz y papel, verás que queda trabajar solamente en la tercera columna)
Observa que los elementos de la tercera fila son: < 0 , 0 , t-1 >, por lo que distinguimos dos casos:
a) t = 1, que nos conduce a una tercera fila nula y el trabajo llegó a su fin porque ya tenemos que el rango es 2 como podrás ver fácilmente;
b) t distinto de 1, lo que nos permite continuar:
4°) F1-->(t-1)F1-3tF3 (observa que los elementos de la fila 1 quedan: < 3(9+t^2)(t-1) , 0 , 0 >
5°) F2-->(t-1)F2-3F3 (observa que los elementos de la fila 2 quedan: < 0 , (9+t^2)(t-1) , 0 >
Observa que a esta altura ya has obtenido una matriz diagonal, que en su diagonal principal tiene todos elementos distintos de cero, por lo que su rango es 3:
Espero haberte ayudado.
b) t distinto de 1, lo que nos permite continuar:
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