Observa que la ecuación diferencial del primer ejercicio es lineal, de primer orden y de primer grado, con la forma:
dt/ds + P(s)t = Q(s),
donde
P(s) = 1/(2s)
Q(s) = V(s) * e^s.
Luego planteamos:
Integral -P(s)ds = (-1/2)Integral (1/s)ds = (-1/2)lns,
Integral P(s)ds = (1/2)Integral (1/s)ds = (1/2)lns.
Luego, la solución será:
t(s) = e^(-1/2)lns * (Integral e^(1/2)lns * V(s) * e^s * ds + C)
operamos con exponenciales y logaritmos y queda:
t(s) = (1/V(s)) * (Integral V(s) * V(s) * e^s + C)
luego
t(s) = (1/V(s)) * (Integral s * e^s + C)
observa que la integral puede resolverse por partes, lo hacemos y llegamos a:
t(s) = (1/V(s)) * ( (s - 1) * e^s + C).
En el segundo ejercicio
observa que tratamos con una función con variables x e y, por lo que deberás verificar en tus apuntes si z representa a una constante, o a una función de x e y
Luego, para realizar las derivadas parciales, observa que tenemos un producto de dos funciones:
U = (5 + x^3)^(1/2), cuyas derivadas parciales son:
Ux = (1/2)*(5 + x^3)^(-1/2) * 3x^2
Uy = 0
V = 6xy + z^2, cuyas derivadas parciales son:
Vx = 6y + 2z*Zx (observa que si z es constante tendremos Zx = 0)
Vy = 6x + 2z*Zy (observa que si z es constante tendremos Zy = 0).
Ya tienes todo lo necesario para plantear las derivadas parciales de la función
Espero haberte ayudado.

Puedes recurrir a las identidades trigonométricas:
(secx)^2 = 1 + (tanx)^2
(cosecx)^2 = 1 + (cotgx)^2
cosx = 1/secx
senx = 1/cosecx
y recuerda que todas las razones son positivas por tratarse de un ángulo agudo en el primer cuadrante.
Espero haberte ayudado

Si ya has resuelto para la primera rama, has encontrado que la condición inicial y(0) = 0 nos conduce a la función cuya expresión es:
y = 1/2 - (1/2)e^(-2x)
Observa que podemos tomar el límite para x tendiendo a 3 por la izquierda y nos queda (observa que el límite es directo):
Li = 1/2 - (1/2)e^(-6).
Luego, planteamos la ecuación diferencial para la rama derecha:
dy/dx + 2y = 0, separamos variables y queda:
dy/y = -2dx, integramos y queda:
ln|y| = -2x + C
compenemos con la función exponencial inversa de la logarítmica y queda
y = e^(-2x + C), observa que también puede escribirse:
y = e^(-2x) * e^C, observa que e^C = K es una constante arbitraria, por lo que escribimos:
y = Ke^(-2x);
luego tomamos el límite cuando x tiende a 3 por la derecha (observa que es un límite directo) y queda:
Ld = Ke^(-6).
Por último, para establecer continuidad en x = 3 (observa que 3 pertenece al subdominio de la primera rama) igualamos los límites laterales:
Ld = Li, reemplazamos y queda
Ke^(-6) = 1/2 - (1/2)e^(-6), luego dividimos en todos los términos por e^(-6), operamos y llegamos a:
K = (1/2)e^6 - 1/2.
Por lo tanto, la solución particular para y(0) = 0 de la ecuación diferencial del enunciado será la función continua en x = 3 cuya expresión es:

1/2 - (1/2)e^(-2x) con 0

De corazon, muchisimas gracias por semejante explicación, me has ayudado bastante

A ver si lo entiendes, conejo:

Muchisimas gracias Antonio, me ha quedado muy claro :D

Puedes comenzar por desarrollar el determinante por su primera fila e igualar a cero.
Luego, puedes resolver es sistema de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas formado por la segunda y la tercera ecuación, aplicando la regla de Cramer.
Finalmente, puedes sustituir todo en la tercera ecuación, y queda demostrada la igualdad.
En el planteo de los determinantes, hemos aplicado propiedades: extracción de un factor común, y permitación de columnas.
Te envío una foto.
Espero haberte ayudado.

http://ebiblioteca.org/?/ver/45669

Y alguna idea tendrias del apartado b? es que el a es normal lo se hacer pero el b ni idea no se me he planteado varias cosas pero nos e cual estara bien porque una me dice que si converge y otra que no..

Va ésta:

Pero la definicion de converger el probabilidad es hacer el limite de la probabilidad de Xn entnoces te faltaria primero hacer la probabildiad y luego el limite? es que por eso tengo un lio

https://es.wikipedia.org/wiki/Folium_de_Descartes
Aquí tienes el estudio general completo (pon a=1)

va:

Repasa los cálculos y termina la última operación, Javier:

Sólo una pregunta, esos valores de Vo y Ao como los ha conseguido? :o

Lo siento, no entiendo tu pregunta...