La cantidad de movimiento no se conserva debido a que existen perdidas de energia debido a la deformación de la pelota y también pérdidas acústicas.

Esto lo trató el profe en estos vídeos:

En cuanto a tu problema has de tener en cuenta que la velocidad de vuelta es negativa:

Δp=mv₂-(-mv₁)=m(v₂+v₁)=0,08·60=4,8N·s

Cual es la duda?

1) 

Sumatoria de fuerzas en el eje paralelo al plano igual a cero (hay equilibrio).

∑F = 0

F_r - m*g*Sin(θ) = 0

Donde "F_r" es la fuerza del resorte y "m*g*Sin(θ)" es la componente del peso en este eje. 

Despejando "F_r" tenemos que: 

F_r = m*g*Sin(θ)

Ahora, de la ley de hooke tenemos que: 

F_r = k*x

Donde "k" es la constante del resorte y "x" es la distancia de compresión o alargamiento. 

Reemplazando el valor de "F_r" obtenido en la sumatoria de fuerzas: 

m*g*Sin(θ) = k*x

Despejando para "k": 

k = [m*g*Sin(θ)]/x

Pasando la distancia a unidades acordes al sistema internacional (SI):

x = 24 cm*(1 m/100 cm) = 0.24 m

Y finalmente reemplazando todos los datos en la ecuación de "k" damos con la respuesta. 

k = [20*9.81*Sin(30º)]/0.24

k = 408.75 N/m

2) 

Sumatoria de fuerzas en el eje paralelo al plano igual a masa por aceleración (segunda ley de newton). 

∑F = m*a

m*g*Sin(θ) = m*a

Donde "m*g*Sin(θ)" es la componente del peso en este eje. 

Despejando "a": 

a = [m*g*Sin(θ)]/m = g*Sin(θ)

Reemplazando los datos que tenemos en esta expresión damos con la respuesta. 

a = 9.81*Sin(20º)

a = 3.3552 m/s² 

a.

Aplicas la ecuación cinemática que brinda la distancia en función de la velocidad y el tiempo.

x = v_o*t + 0.5*a*t² 

Como se parte del reposo, v_o = 0.  Entonces: 

x = 0.5*a*t² 

Despejando "a": 

a = (2*x)/t² 

Y reemplazando los datos: 

a = (2*100)/20² 

a = 0.5 m/s² 

b. 

Sumatoria de fuerzas en el eje paralelo al plano igual a masa por aceleración (segunda ley de newton). 

∑F = m*a

F_motor - m*g*Sin(θ) = m*a

Despejando "F_motor": 

F_motor = m*a + m*g*Sin(θ) = m*[a + g*Sin(θ)]

Y reemplazando los datos: 

F_motor = 1200*[0.5 + 9.81*Sin(20º)]

F_motor = 4626.26 N

a.

La expresión que nos brinda las perdidas por fricción en tuberías es: 

h_L = ƒ*(L/D)*(V²/2*g)

Donde "ƒ" es el factor de fricción de darcy, "L" la longitud de la tubería, "D" el diámetro de la tubería, "V" la velocidad y "g" la gravedad. 

Esta expresión la podemos expresar en función del caudal "Q" sabiendo que: 

Q = V*A

Donde "A" es el área de la tubería. Como son tuberías con sección circular, tenemos que: 

A = (π*D²)/4

Reemplazando esto en la ecuación del caudal y despejando para "V":

Q = V*[(π*D²)/4]

V = Q/[(π*D²)/4]

Y reemplazando esta velocidad en la expresión de perdidas por fricción: 

h_L = ƒ*(L/D)*({Q/[(π*D²)/4]}²/2*g)

h_L = ƒ*(L/D)*({Q/[(π*D²)/4]}²/2*g)

Trabajando matemáticamente esta expresión, nos queda que: 

h_L = [8/(π²*g)]*ƒ*(L/D⁵)*Q² 

Y de aquí sale el factor ƒ*(L/D⁵). 

Pasando el caudal en el tramo 3 a unidades acordes al sistema internacional (SI).

Recordamos que: 1 m³/s = 15850 gpm

Q₃ = 804.81 gpm*[(1 m³/s)/(15850 gpm)] = 0.0508 m³/s

Ahora, planteamos las perdidas en este tramo.

h_L(3) = [8/(π²*g)]*ƒ₃*(L₃/D₃⁵)*Q₃² 

Reemplazando los datos encontramos las perdidas en este tramo. 

h_L(3) = [8/(π²*9.81)]*137.2821x10³*0.0508² 

h_L(3) = 29.2727 m

b. 

Asumimos un sentido a los caudales de los tres depósitos.

Viendo la imagen pareciera que "Q₁" debe bajar del deposito 1, "Q₂" debe ir bajando del deposito 2 y "Q₃" debe ir subiendo al deposito 3. 

Al final nos daremos cuenta si esta suposición fue correcta. Esperemos que si.

Aplicamos bernoulli entre los depósitos 3 y 2. Partimos del deposito 3 y llegamos al deposito 2.  Con este recorrido nos queda: 

(P₃/γ₃) + (v₃²/2*g) + z₃ = (P₂/γ₂) + (v₂²/2*g) + z₂ - h_L(3) - h_L(2)  

Fíjate que las perdidas tienen signo negativo debido a que van en sentido contrario al recorrido hecho. 

Como los depósitos están abiertos a la atmósfera, las presiones en los depósitos 3 y 2 son iguales. Por lo tanto se cancelan.  

Las velocidades en los depósitos 2 y 3 son aproximadamente cero en su superficie. 

Dicho todo esto, nos queda: 

 z₃ = z₂ - h_L(3) - h_L(2)  

Y de aquí despejamos las perdidas en el tramo 2. 

h_L(2) = z₂ - h_L(3) - z₃ 

Reemplazando datos: 

h_L(2) = 75 - 29.2727 - 40

h_L(2) = 5.7273 m

Planteando ahora las perdidas en el tramo 2: 

h_L(2) = [8/(π²*g)]*ƒ₂*(L₂/D₂⁵)*Q₂² 

Reemplazando y despejando para "Q₂":

5.7273 = [8/(π²*9.81)]*200.2913x10³*Q₂² 

Q₂ = 0.0186 m³/s

Transformando a gpm: 

Q₂ = 0.0186 m³/s*[(15850 gpm)/(1 m³/s)]

Q₂ = 294.81 gpm

Y según el sentido de los caudales asumidos, al aplicar una ecuación de nodo tenemos que: 

Q₁ + Q₂ = Q₃ 

Q₁ = Q₃ - Q₂ 

Q₁ = 804.81 - 294.81

Q₁ = 510.37 gpm 

c. 

La ecuación de la bomba ya la da el problema. Solo debemos reemplazar el caudal que pasa por este tramo, "Q₁", en la ecuación de la bomba.

Pasamos este caudal a unidades acordes al sistema internacional (SI). 

Q₁ = 510.37 gpm*[(1 m³/s)/(15850 gpm)] = 0.0322 m³/s

Reemplazando en la ecuación de la bomba damos con su carga. 

h_B = [(64.654)/(0.0322) - 3501.95*0.0322]*0.0322 = 61.023 m

Y aplicando la ecuación que nos brinda la potencia de la bomba damos por concluido el problema.

W_B = ρ_agua*Q₁*g*h_B 

Recuerda que ρ_agua = 997 kg/m³ @25ºC

Entonces:

W_B = 997*0.0322*9.81*61.023

W_B = 19.218 kW

Observa que han designado con x a la distancia que separa a las ciudades A y B, que es recorrida dos veces, una en ida y otra en vuelta, por lo que tienes que la distancia total recorrida es:

x_T = 2x (1),

y observa que no tienes datos suficientes para determinar el valor exacto de la distancia entre las ciudades.

Luego, observa que a partir de la ecuación de velocidad de Movimiento Rectilíneo Uniforme, han planteado las expresiones de los intervalos de tiempo empleados en cada etapa, en función de la distancia recorrida y de la rapidez correspondiente:

t₁ = x/v₁ = x/60 (en horas),

t₂ = x/v₂ = x/40 (en horas);

y observa que el intervalo de tiempo total queda expresado:

t_T = t1 + t2 = x/60 + x/40 = x(1/60 + 1/40) = x(5/120) = x/24 (en horas).

Luego, planteas la expresión de la rapidez media recorrida en las dos etapas, y queda:

v_M = x_T/t_T = 2x/(x/24) = 2x*24/x = 2*24 = 48 Km*h^-1.

Espero haberte ayudado.

6)

Tienes la expresión de la fuerza en función del tiempo:

F(t) = 96 - 800t (en N).

Tienes el valor de la masa del plato:

M = 90 g = 0,09 Kg.

Luego, a partir de la Segunda Ley de Newton, planteas la expresión de la función aceleración, y queda:

a(t) = F(t)/M, reemplazas expresiones, y queda:

a(t) = (96 - 800t)/0,09, distribuyes el denominador, resuelves coeficientes, y queda:

a(t) = 3200/3 - (80000/9)t (en m/s).

Luego, planteas a la aceleración en función de la velocidad y del tiempo, y queda la ecuación diferencial:

dv/dt = a(t), sustituyes la expresión de la aceleración, separas variables, y queda:

dv = ( 3200/3 - (80000/9)t )*dt, integras en ambos miembros, resuelves coeficientes, y queda:

v(t) = (3200/3)t - (40000/9)t² + C (1),

que  es la expresión general de la función velocidad;

luego, tienes la condición inicial (observa que el plato parte desde el reposo):

v(0) = 0, sustituyes la expresión señalada (1) evaluada en el primer miembro, y queda:

(3200/3)0 - (40000/9)0² + C = 0, resuelves términos, cancelas los términos nulos, y queda:

C = 0;

luego, reemplazas este valor en la expresión de la velocidad señalada (1), cancelas el término nulo, y queda:

v(t) = (3200/3)t - (40000/9)t² (2).

Luego, como tienes que el instante en estudio corresponde al momento en que la fuerza se anula, entonces puedes plantear la ecuación:

F(t) = 0, sustituyes la expresión de la fuerza en el primer miembro, y queda:

96 - 800t = 0, y de aquí despejas:

t = 96/800 = 0,12 s;

luego, evalúas la expresión de la función velocidad señalada (2) para este instante, y queda:

v(0,12) = (3200/3)0,12 - (40000/9)0,12², resuelves términos, y queda:

v(0,12) = 128 - 64 = 64 m/s.

Espero haberte ayudado.

7)

Establece un sistema de referencia con eje de posiciones OX con dirección y sentido positivo acordes al desplazamiento inicial del auto.

Luego, planteas las expresiones de su velocidad inicial y de su velocidad final (presta atención a sus sentidos), y queda:

v_i = 72 Km/h = 72*1000/3600 = 20 m/s,

v_f = -18 Km/h = -18*1000/3600 = -5 m/s.

Luego, con los valores de las velocidades, y el valor del intervalo de tiempo empleado en pasar de la velocidad inicial a la final (Δt = 0,25 s) que tienes en tu enunciado, planteas la expresión de la aceleración media, y queda:

a = (v_f - v_i)/Δt, reemplazas valores, y queda:

a = (-5 - 20)/0,25, resuelves, y queda:

a = -100 m/s², cuyo signo expresa que su sentido es contrario al desplazamiento inicial del auto.

Luego, con el valor de la masa de la persona (M = 70 Kg) que tienes en tu enunciado, y el valor de la aceleración media, planteas la expresión de la fuerza media aplicada sobre la persona, y queda:

F = M*a, reemplazas valores, y queda:

F = 70*(-100), resuelves, y queda:

F = -7000 N, cuyo signo expresa que su sentido es contrario al desplazamiento inicial del auto.

Espero haberte ayudado.

¿Qué  significa la C en el primer ejercicio?

¿Cómo has pasado de 80000 a 40000 en el primero?

Establece un sistema de referencia con eje OX con dirección y sentido positivo acordes al desplazamiento inicial de la pelota.

Luego, planteas las expresiones de las velocidades inicial y final (presta atención a sus sentidos), y queda:

v_i = 28 m/s,

v_f = -42 m/s;

luego, con el valor del intervalo de tiempo empleado para variar la velocidad de la pelota (Δt = a determinar), planteas la expresión de la aceleración media, y queda:

a = (v_f - v_i)/Δt reemplazas valores, resuelves el numerador, y queda:

a = -70/Δt (1) (en m/s²).

Luego, con el valor de la fuerza media aplicada sobre la pelota (presta atención a su sentido): F = -140 N, y el valor de la masa de la pelota: M = 145 g = 0,145 Kg, aplicas la Segunda Ley de Newton, y tienes que la expresión de la aceleración queda:

a = F/M, reemplazas valores, y queda:

a = -140/0,145, resuelves, y queda:

a = -28000/29 m/s²;

luego, reemplazas este último valor en la expresión de la aceleración señalada (1), y queda:

-28000/29 = -70/Δt, y de aquí despejas:

Δt = 70*29/28000, resuelves y queda:

Δt = 0,0725 s = 72,5 ms.

Luego, con el valor de la fuerza media aplicada y del intervalo de tiempo empleado, planteas la expresión del impulso aplicado sobre la pelota, y queda:

J = F*Δt, reemplazas valores, y queda:

J = -140*0,0725, resuelves, y queda:

J = -10,15 N*s, y observa que su signo negativo indica que su sentido es opuesto al desplazamiento inicial de la pelota.

Luego, planteas las expresiones de las cantidades de movimiento inicial y final, y queda:

p_i = M*v_i = 0,145*28 = 4,06 Kg*m/s,

p_f = M*v_f = 0,145*(-42) = -6,09 Kg*m/s;

luego, planteas la expresión de la variación de la cantidad de movimiento de la pelota, y queda:

Δp = p_f - p_i, reemplazas valores, y queda:

Δp = -6,09 - 4,06 = -10,15 Kg*m/s, y observa que su signo negativo indica que su sentido es opuesto al desplazamiento inicial de la pelota.

Espero haberte ayudado.