a) La probabilidad de 75/300, es P(A^c int S^c) porque no le gusta ninguna película, NI una NI la otra.

b) Fíjate que P(A^c int S^c)=P((A u S)^c))=1-P(A u S) que lo tienes bien ahora de pura suerte, pero que antes no habías aplicado la ley de Morgan.

Todo lo otro es correcto.

Saludos.

La función sólo es contínua en un punto, x=0.

Saludos.

Porque en este caso, el sólido de revolución es generado por el giro alrededor de la recta y = -1. Siempre que tengas que girar alrededor de y=K, la r será f(x) - K.

Saludos.

ah vale muchas gracias. Pero porque al calcular la integral pone otra vez el -1 ? 

Observa que el dominio de la función vectorial es:

D ={ (x,y,z) ∈ R³: x ≠ 0 ∧ y-z > 0 }.

Luego, recuerda la expresión del rotacional de una función vectorial cuyas funciones componentes llamamos P, Q y R:

rot(f) = ∇xf = < R_y-Q_z , P_z-R_x , Q_x-P_y > (1).

Luego, tienes las expresiones de las funciones componentes, de las que indicamos sus derivadas parciales de interés:

P = x*Ln(y-z),

P_z = -x/(y-z),

P_y = x/(y-z);

Q = (z-cosy)/(2x),

Q_z = 1/(2x),

Q_x = -(z-cosy)*2/(4x²) = (-z+cosy)/(2x²);

R = y/x,

R_y = 1/x,

R_x = -1/x²;

y observa que todas las funciones derivadas están definidas en todo el dominio de la función.

Luego, solo tienes que sustituir expresiones en la expresión vectorial del rotacional de la función señalada (1).

Espero haberte ayudado.

Recuerda la definición de número combinatorio:

C(n,r) = n! / (r!*(n-r)! ).

Por lo tanto, tu expresión queda:

C(5,1) = 5! / ( 1!*(5-1)! ) = 5! / (1!*4!) = 5*4! / (1!*4!) = simplificas = 5/1! = resuelves el denominador = 5/1 = 5.

Espero haberte ayudado.

Observa que el segundo vector es igual a las suma del primero con el tercero, por lo que tienes que el conjunto es linealmente dependiente.

Luego, considera el conjunto formado por el primer vector y el tercer vector, y observa que sus elementos son linealmente independientes (te dejo la tarea de probarlo), por lo que tienes una base del subespacio (S) de R⁴:

B_S = { <2,1,0,1> , <-1,0,-3,0>},

cuyo cardinal es: |B_S| = 2, por lo que tienes que la dimensión del subespacio S es:

dim(S) = 2.

Luego, planteas la expresión de un vector genérico del subespacio como combinación lineal de los vectores de la base, y queda:

a*<2,1,0,1> + b*<-1,0,-3,0> = <x,y,z,w>, con a y b números reales a determinar.

Luego, resuelves los productos en los términos, y queda:

<2a,a,0,a> + <-b,0,-3b,0> = <x,y,z,w>, resuelves la suma vectorial, y queda:

<2a-b,a,-3b,a> = <x,y,z,w>;

luego, por igualdad entre vectores, igualas componente a componente, y tienes el sistema de cuatro ecuaciones con dos incógnitas (a y b):

2a - b = x,

a = y,

-3b = z,

a = w (1);

luego, sustituyes la expresión señalada (1) en las tres primeras ecuaciones (en realidad solo en las dos primeras), y queda:

2w - b = x,

w = y,

-3b = z, aquí divides por -3 en ambos miembros, y queda: b = -z/3 (2);

luego, sustituyes la expresión señalada (2) en las dos primeras ecuaciones (en realidad solo en la primera), y queda:

2w -(-z/3) = x, aquí multiplicas por 3 en todos los miembros, y queda: 6w + z = 3x;

w = y.

Luego, tienes que la definición del subespacio por comprensión queda:

S = { <x,y,z,w> ∈ R⁴: 6w + z = 3x ∧ w = y }.

Espero haberte ayudado.