Integral racional en fracciones simples 01 Integral racional en fracciones simples 02

Debes aplicar el Método de las fracciones simples (o parciales).

Tienes la expresión de la función a integrar:

f(x) = 3 / (x-1)(x-3) = a/(x-1) + b/(x-3) = ( a(x-3) + b(x-1) ) / (x-1)(x-3) (1).

Luego, por igualdad entre expresiones algebraicas fraccionarias, tienes que los numeradores remarcados deben ser iguales, por lo que puedes plantear la igualdad entre polinomios:

a(x-3) + b(x-1) = 3,

y observa que la igualdad debe verificarse para cualquier valor real de la indeterminada x, por lo que puedes reemplazar dos valores cualesquiera, observa que los más convenientes son 3 y 1, por lo que los reemplazas y quedan las ecuaciones:

2b = 3, aquí divides por 3 en ambos miembros, y queda: b = 3/2;

-2a = 3, aquí divides por -2 en ambos miembros, y queda: a = -3/2.

Luego, reemplazas los valores remarcados en el tercer miembro de la cadena de ecuaciones señalada (1), y tienes que la expresión de la función a integrar queda:

f(x) = -(3/2)/(x-1) + (3/2)/(x-3) = -(3/2)( 1/(x-1) ) + (3/2)( 1/(x-3) ).

Luego, integras miembro a miembro, y la solución general de la integral de tu enunciado queda:

I = -(3/2)ln|x-1| + (3/2)ln|x-3| + C.

Espero haberte ayudado.

Para investigar la independencia lineal, planteas la "combinación lineal nula" (llamamos a, b y c a los factores escalares), y queda:

a<1,1,1,1> + b<1,1,0,1> + c<0,0,1,0> = <0,0,0,0>;

luego, efectúas los productos en los términos, sumas componente a componente, y queda:

< a+b , a+b , a+c , a+b > = <0,0,0,0>;

luego, por igualdad entre vectores, igualas componente a componente, y tienes el sistema de ecuaciones:

a + b = 0 (observa que esta ecuación se repite),

a + c = 0;

luego, restas a en ambos miembros de ambas ecuaciones, y queda:

b = -a,

c = -a,

por lo que tienes que el sistema es compatible indeterminado y admite infinitas soluciones, que quedan expresadas:

b = -a,

c = -a,

a ∈ R;

y, por lo tanto, tienes que el conjunto de vectores es linealmente dependiente.

Luego, descartas el vector asociado al parámetro a, y tienes una base del subespacio S generado por el conjunto de vectores que tienes en tu enunciado:

B = { <1,1,0,1> , <0,0,1,0> }, cuyas dimensión queda expesada:

dim(S) = |B| = 2.

Luego, planteas a un vector genérico del subespacio: u = <x,y,z,w> como combinación lineal de los vectores de la base (observa que llamamos p y q a los factores escalares), y queda:

p<1,1,0,1> + q<0,0,1,0> = <x,y,z,w>;

luego, efectúas los productos en los términos, sumas componente a componente, y queda:

<p,p,q,p> = <x,y,z,w>;

luego, por igualdad entre vectores, igualas componente a componente, y tienes el sistema de ecuaciones:

p = x (1),

p = y (2),

q = z (3),

p = w (4);

luego, sustituyes la expresión señalada (1) en las demás ecuaciones (en realidad, solo en la segunda y en la tercera), y queda:

x = y, aquí restas y en ambos miembros, y queda: x - y = 0,

q = z,

x = w, aquí restas w en ambos miembros, y queda: x - w = 0;

luego, con las dos ecuaciones remarcadas (que son las ecuaciones cartesianas del subespacio), puedes definir al subespacio por comprensión:

S = { <x,y,z,w> ∈ R⁴: x - y = 0 ∧ x - w = 0 };

luego, asignas un parámetro (t) a la componente x del vector genérico del subespacio, asignas un parámetro (s) a la componente z del vector genérico del subespacio, sustituyes en las ecuaciones cartesianas remarcadas, y queda:

t - y = 0,

t - w = 0,

multiplicas por -1 en ambas ecuaciones, luego sumas t en ambas ecuaciones, y queda el sistema de  ecuaciones cartesianas paramétricas del subespacio:

x = t,

y = t,

z = s,

w = t,

t ∈ R, s ∈ R.

Espero haberte ayudado.

Muchas gracias de verdad !!

Con mi profe calculamos si es l.d o l.i haciendo rangos como lo he echo en la foto adjunta y me sale que el rango es 2 , es decir que sólo hay 2 vectores l.i  de los 3 pero no sabría poner la base y la dimensión...

no sabria decir cuales son linealmnte dependientes , me puedes resolver esta duda por favor 

tengo otra duda, como saber si una matriz es diagonalizable o no ? . se que primero hay que hallar el polinomio caracteristico,  resolverlo para obtener los autovalores y luego sustituir cada autovalor en la matriz y resolver y segun lo que he encontrado una matriz es diagonalizable o no dependiendo de la dimension y yo no se calcular la dimension ...me echas una mano porfa ...en la matriz formada por estos vectores, por ejemplo, ( 0,-3,5), (-4,4,-10) y (0,0,4) los autovalores son : 4, -2 y 6 y los he sustituido en la matriz y he hallado los autovectores pero no se justificar porque es diagonalizable 

Hola Carmela,..... fíjate en una cosa.... en la parte de arriba la raíz está abajo... lo que significa que no puede ser cero....por eso se iguala a cero el denominador para saber qué valores de x dan cero, ya que algo entre cero da infinito, ....

La raíz del segundo ejercicio es un numerador,.... ....has visto alguna vez alguna raiz cuadrada de un  número negativo?? pues da error, porque no existe.....una raiz siempre es positiva....esa es la idea luego raiz de algo tiene que ser mayor ó igual a cero 

Perdoname Gabriel. Me estoy agobiando mucho. Qué hago mal?

Te muestro otra forma.

1)

Tienes una raíz cuyo índice es par en el denominador de la expresión de la función, por lo que su argumento debe ser estrictamente positivo (observa que no puede ser igual a cero, porque se anularía el denominador), por lo que puedes plantear la condición que deben cumplir los elementos del dominio de la función:

x² - 25 > 0, sumas 25 en ambos miembros, y queda:

x² > 25, extraes raíz cuadrada en ambos miembros (presta atención a este paso), y queda:

|x| > 5, expresas al conjunto solución con intervalos (observa que x puede tomar valores mayores que 5 o valores menores que -5), y el dominio de la función queda expresado:

D₁ = (-∞,-5) ∪ (5,+∞).

2)

Tienes una raíz cuyo índice es par en la expresión de la función, por lo que su argumento debe ser positivo (observa que si puede ser igual a cero, porque no es el denominador), por lo que puedes plantear la condición que deben cumplir los elementos del dominio de la función:

4 - 9x⁴ ≥ 0, restas 4 en ambos miembros de la inecuación, y queda:

-9x⁴ ≥ -4, multiplicas por -1 en ambos miembros de la inecuación (observa que cambia la desigualdad), y queda:

9x⁴ ≤ 4, divides por 9 en ambos miembros de la inecuación (observa que no cambia la desigualdad), y queda:

x⁴ ≤ 4/9, expresas al segundo miembro como un cuadrado, y queda:

x⁴ ≤ (2/3)², extraes raíz cuadrada en ambos miembros (presta atención a este paso), y queda:

|x²| ≤ 2/3,

eliminas las barras de valor absoluto en el primer miembro (observa que su argumento es positivo), y queda:

x² ≤ 2/3, multiplicas por 3 al numerador y al denominador del segundo miembro, y queda:

x² ≤ 6/9, extraes raíz cuadrada en ambos miembros (presta atención a este paso), y queda:

|x| ≤ √(6/9), distribuyes la raíz cuadrada entre el numerador y el denominador en el segundo miembro, y queda:

|x| ≤ √(6)/3, 

expresas al conjunto solución como intervalo (observa que los elementos del dominio pueden tomar valores comprendidos entre -√(6)/3, y √(6)/3, y que también x puede tomar estos valores), y el dominio de la función queda expresado:

D₂ = [-√(6)/3,√(6)/3].

Espero haberte ayudado.

Tal como has escogido los parametros a mi me sale así 

creo que me he liado a la hora de poner el parámetro, pero el cálculo se haría igual. Si no lo ves, me dices y repito...

Vamos con una alternativa.

Como buscas el punto en el que las rectas se cortan, tienes que las coordenadas de este punto deben verificar las ecuaciones de r y de s, por lo que puedes plantear el sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas:

x + 2y = -3, 

z = 1,

2x + 2y + z = a,

x + z = 0;

luego, reemplazas el valor remarcado en las demás ecuaciones (en realidad solo en las dos últimas), y queda:

x + 2y = -3, 

2x + 2y + 1 = a,

x + 1 = 0, aquí restas 1 en ambos miembros, y queda: x = -1;

luego, reemplazas el valor remarcado en las otras dos ecuaciones, y queda:

-1 + 2y = -3, aquí despejas: y = -1,

-2 + 2y + 1 = a;

luego reemplazas el valor remarcado en la última ecuación, resuelves, y queda: -3 = a.

Espero haberte ayudado.

a)

A partir de las ecuaciones cartesianas paramétricas de la recta r, tienes que la expresión de un punto genérico de dicha recta es: A(2+2λ,1-λ,3).

Luego, planteas las expresiones de las distancias elevadas al cuadrado del punto A al punto P y al punto Q, y quedan:

d(P,A)² =  (2+2λ - 2)² + (1-λ - 1)² + ( 3 - (-1) )² = 4λ² + λ² + 16 = 5λ² + 16 (1),

d(Q,A)² =  (2+2λ - 1)² + (1-λ - 0)² + (3 - 2)² = (2λ+1)² + (1-λ)² + 1 (2).

Luego, igualas las expresiones señaladas (1) (2), y queda la ecuación:

5λ² + 16 = (2λ+1)² + (1-λ)² + 1, desarrollas los binomios elevados al cuadrado, y queda:

5λ² + 16 = 4λ²+4λ+1 + 1-2λ+λ² + 1, reduces términos semejantes, y queda:

5λ² + 16 = 5λ²+2λ+3, restas 5λ², restas 2λ y restas 16 en ambos miembros, y queda:

-2λ = -13, divides por -2 en ambos miembros, y queda:

λ = 13/2;

luego, reemplazas el valor del parámetro en la expresión del punto genérico de la recta, resuelves las expresiones de sus coordenadas, y queda

A(15,-11/2,3), que es el punto de la recta r que equidista de los puntos P y Q.

b)

Observa que el vector director de la recta r: u = <2,-1,0> es perpendicular al plano, por lo que puedes considerar que este es un vector normal al plano, y con las coordenadas del punto Q, puedes plantear la ecuación cartesiana implícita del plano, y queda:

2(x-1) - 1(y-0) + 0(z-2) = 0, cancelas el término nulo, distribuyes, reduces términos numéricos, y queda:

2x - y - 2 = 0.

Espero haberte ayudado.