Radicales

Este resultado coincide con la respuesta, si racionalizas la expresión de la respuesta.

Observa que puedes "trabajar" la expresión de la función, para luego derivarla con mayor facilidad.

y = √(3^{x^2+1}) = (3^{x^2+1})^1/2 = 3^{(1/2)(x^2+1)} = 3^{(1/2)x^2+1/2} (*).

Luego, observa que debes aplicar la Regla de la Cadena ( recuerda que para derivar una expresión de una función del tipo 3^u, tienes que la expresión de su función derivada queda: 3^uln(3)*u ' ), por lo que tienes:

y ' = 3^{(1/2)x^2+1/2}*x*ln(3),

que es una expresión equivalente a la que tienes consignada en tu solucionario, y para llevarla a dicha forma, multiplicas y divides por 3^{(1/2)x^2+1/2}, y queda:

y ' = 3^{(1/2)x^2+1/2}*3^{(1/2)x^2+1/2}*x*ln(3) / 3^{(1/2)x^2+1/2},

resuelves la multiplicación entre los dos primeros factores del numerador (observa que tienes una multiplicación de potencias con bases iguales, por lo que tienes que sumar los exponentes), y queda:

y ' = 3^{x^2+1}*x*ln(3) / 3^{(1/2)x^2+1/2},

sustituyes la primera expresión remarcada y señalada (*) en el denominador, y queda:

y ' = 3^{x^2+1}*x*ln(3) / √(3^{x^2+1}),

que es la expresión que tienes consignada en tu solucionario.

Espero haberte ayudado.

No se entiende la pregunta. Sube un ejemplo.

Tienes la expresión de una función diferenciable en R², que es una composición entre dos funciones diferenciables:

g(x,y) = e^{1-4x^2-y} (1).

a)

Planteas la ecuación general de las curvas de nivel, y queda:

e^{1-4x^2-y} = k (observa que k toma valores estrictamente positivos);

luego, compones en ambos miembros con la función logarítmica natural, y queda:

1 - 4x² - y = ln(k),

restas 1 y sumas 4x² en ambos miembros, y queda:

-y = 4x² - 1 + ln(k),

multiplicas por -1 en todos los términos de la ecuación, y queda:

y = -4x² + 1 - ln(k),

que es la ecuación general de una familia de parábolas con eje OY negativo, y cuyos vértices quedan expresados: V( 0,1-ln(k) ); por lo que solo queda que reemplaces valores y hagas los gráficos de las curvas de nivel que te piden en tu enunciado (te dejo la tarea).

b)

Planteas las expresiones de las funciones derivadas parciales, y quedan:

g_x(x,y) = e^{1-4x^2-y} * (-8x) = -8x*e^{1-4x^2-y},

g_y(x,y) = e^{1-4x^2-y} * (-1) = -e^{1-4x^2-y};

luego, evalúas las expresiones de las funciones derivadas parciales para el punto en estudio, y quedan:

g_x(1/2,0) = -4,

g_y(1/2,0) = -1;

por lo que tienes que el vector gradiente de la función evaluado en el punto en estudio queda expresado:

∇g(1/2,0) = < -4 , -1 >.

c)

Tienes el vector dirección: v = < 4 , 0 >, cuyo módulo es: |v| = 4, y cuyo vector unitario asociado queda expresado: V = v/|v| = < 1 , 0 >

luego, como la función es difeenciable en el punto en estudio (y en todo R² como ya hemos consignado), puedes plantear para la expresión de su derivada direccional:

D_vg(1/2,0) = ∇g(1/2,0) • V = < -4 , -1 > • < 1 , 0 >,

resuelves el producto escalar, y queda:

D_vg(1/2,0) = -4*1 + (-1)*0 = -4 + 0 = -4.

d)

Observa que el vector gradiente evaluado en el punto en estudio indica la dirección de máximo aumento de la función toxicidas, por lo que tienes que el insecto debe desplazarse en la dirección opuesta, por lo que el vector dirección correspondiente queda expresado:

u = -∇g(1/2,0) = -< -4 , -1 > = < 4 , 1 >, cuyo módulo es: |u| = √(4²+1²) = √(17),

y su vector unitario asociado queda expresado:

U = u/|u| = ( 1/√(17) )*< 4 , 1 > = < 4/√(17) , 1/√(17) >.

e)

Tienes que el insecto se desplaza según una trayectoria que es una circunferencia, cuya ecuación es:

x² + y² = 1/4,

que es una curva de nivel de la función diferenciable en R²: h(x,y) = x² + y²,

cuyo vector gradiente queda expresado: ∇h(x,y) = < 2x , 2y >.

Luego, tienes todas las condiciones para plantear el Método de los Multiplicadores de Lagrange (observa que indicamos con λ al multiplicador):

∇g(x,y) = λ*∇h(x,y),

x² + y² = 1/4,

λ ∈ R;

descompones la ecuación vectorial según las componentes de los vectores gradientes, y queda:

-8x*e^{1-4x^2-y} = 2λx (1),

-e^{1-4x^2-y} = 2λy (2),

x² + y² = 1/4 (3);

restas 2λx en ambos miembros de la ecuación señalada (1), y queda:

-8x*e^{1-4x^2-y} - 2λx = 0,

extraes factores comunes en el primer miembro, y queda:

-2x*(4e^{1-4x^2-y} + λ) = 0,

divides por -2 en ambos miembros, y queda:

x*(4e^{1-4x^2-y} + λ) = 0;

luego, por anulación de un producto, tienes dos opciones:

a)

x = 0, que al sustituir en las ecuaciones señaladas (2) (3) queda:

-e^1-y = 2λy,

y² = 1/4,

luego, a partir de la segunda ecuación, tienes dos opciones:

a₁)

y = -1/2, reemplazas en la primera ecuación, y queda:

-e^3/2 = -λ, multiplicas en ambos miembros por -1, y queda: e^3/2 = λ;

por lo que tienes el punto crítico: A₁(0,-1/2), con su multiplicador: λ = e^3/2;

a₂)

y = 1/2, reemplazas en la primera ecuación, y queda:

-e^3/2 = λ;

por lo que tienes el punto crítico: A₂(0,1/2), con su multiplicador: λ = -e^3/2;

b)

4e^{1-4x^2-y} + λ = 0, restas 4e^{1-4x^2-y} en ambos miembros, y queda:

λ = -4e^{1-4x^2-y} (4);

luego, sustituyes en las ecuaciones señaladas (2) (3) (en realidad, solo en la primera de ellas), y queda:

-e^{1-4x^2-y} = -8y*e^{1-4x^2-y} (5),

x² + y² = 1/4 (3);

divides en ambos miembros de la ecuación señalada (5) por -e^{1-4x^2-y} (observa que es una expresión que toma valores distintos de cero), y queda:

1 = 8y, divides por 8 en ambos miembros, y queda:

1/8 = y, que al reemplazar en la ecuación señalada (3), y queda:

x² + 1/64 = 1/4, restas 1/64 en ambos miembros, y queda:

x² = 15/64, extraes raíz cuadrada en ambos miembros, y tienes dos opciones:

b₁)

x = -√(15)/8, reemplazas valores en la ecuación señalada (4), y queda:

λ = -4e^-1/16;

por lo que tienes el punto crítico: B₁(-√(15)/8,1/8), con su multiplicador: λ = -4e^-1/16;

b₂)

x = √(15)/8, reemplazas valores en la ecuación señalada (4), y queda:

λ = -4e^-1/16;

por lo que tienes el punto crítico: B₂(√(15)/8,1/8), con su multiplicador: λ = -4e^-1/16;

luego, evalúas la expresión de la función para los cuatro puntos críticos, y queda:

g(0,-1/2) = e^3/2 ≅ 4,482,

g(0,1/2) = e^1/2 ≅ 1,649,

g(-√(15)/8,1/8) = e^-3/16 ≅ 0,829,

g(√(15)/8,1/8) = e^-3/16 ≅ 0,829;

luego, tienes que la función alcanza un Máximo absoluto en el punto: A₁(0,-1/2), y tienes que la función

alcanza Mínimos Absolutos en los puntos: B₁(-√(15)/8,1/8) y B₂(√(15)/8,1/8).

Queda que hagas las gráficas correspondientes.

Espero haberte ayudado.

La discusión es distinta:

El supremo, que es 3, se da en x=4, pero no es máximo.

Máximos relativos:  en x=-1, en x=1.

Mínimos relativos: en x=3.

Máximo absoluto: No hay.

Mínimo absoluto: No hay.

En x=-1, discontinuidad de salto finito y evitable.

En x=0, discontinuidad de salto infinito

En x=4, discontinuidad de salto finito y no evitable.

El supremo, entiendo que sea el máximo, que en este caso sería para x=4

El ínfimo, entiendo que sea el mínimo, que en este caso no existe porque la función tiende a menos infinito.