Hola Unicoos
Antonio Silvio o alguien me pueden explicar cómo podría hacer el ejercicio porque no sé cómo hacerlo.
Muchas gracias
a)
Puedes llamar α = π/3, β = π/4, γ = a determinar, a los ángulos directores del vector v, con respecto al eje OX, al eje OY y al eje OZ, respectivamente.
Luego, recuerda la relación entre los cosenos de los ángulos directores:
cos2α + cos2β + cos2γ = 1, haces pasajes de términos, y queda:
cos2γ = 1 - cos2α - cos2β, reemplazas valores angulares, y queda:
cos2γ = 1 - cos2(π/3) - cos2(π/4), resuelves términos, y queda:
cos2γ = 1 - (1/2)2 - ( √(2)/2 )2 = 1 - 1/4 - 1/2 = 1/4, extraes raíz cuadrada, y queda:
cosγ = 1/2, compones con la función inversa del coseno, y queda:
γ = π/3.
b)
Recuerda que la condición de perpendicularidad entre un plano y una recta:
el vector director de la recta (o cualquier múltiplo no nulo de él) es un vector normal al plano.
Luego, tienes el punto A(3,0,1), y tienes el vector normal al plano: v = <1,5,3>,
luego, planteas la expresión de un punto genérico del plano P(x,y,z), y con él la expresión de un vector genérico del plano: AP = <x-3,y-0,z-1> = <x-3,y,z-11>.
Luego, como el vector genérico del plano es perpendicular al vector normal al plano, puedes plantear que el producto escalar entre ellos es igual a cero, y tienes la ecuación:
v • AP = 0, sustituyes las expresiones de los vectores, y queda:
<1,5,3> • <x-3,y,z-1> = 0, que es una ecuación vectorial del plano;
luego, desarrollas el producto escalar, y queda:
1*(x - 3) + 5*y + 3*(z - 1) = 0, distribuyes, reduces términos numéricos, y queda:
x + 5y + 3z - 6 = 0, que es una ecuación cartesiana implícita del plano.
Espero haberte ayudado.
