Tienes la integral:

I = ∫ a^4x*dx;

luego, escribes a la base de la potencia como una expresión exponencial con base natural, y queda:

I = ∫ (e^lna)^4x*dx;

luego, aplicas la propiedad de una potencia cuya base es otra potencia, y queda:

I = ∫ e^4lna*x*dx (*);

luego, planteas la sustitución (cambio de variable):

w = 4lna*x (1), de donde tienes:

dw = 4lna*dx, y de aquí tienes:

( 1/(4lna) )*dw = dx (2);

luego, sustituyes las expresiones señaladas (1) (2) en la integral señalada (*), y queda:

I = ∫ e^w*( 1/(4lna) )*dw;

luego, extraes el factor constante, y queda:

I = ( 1/(4lna) )*∫ e^w*dw;

luego, integras y queda:

I = ( 1/(4lna) )*e^w + C;

luego, sustituyes la expresión señalada (1), y queda:

I = ( 1/(4lna) )*e^4lna*x + C;

luego, expresas al factor exponencial como una potencia cuya base es otra potencia, y queda:

I = ( 1/(4lna) )*(e^lna)^4x + C;

luego, resuelves la expresión exponencial (observa que tienes una composición entre funciones inversas evaluada), y queda:

I = ( 1/(4lna) )*a^4x + C.

Espero haberte ayudado.

Tienes bien planteado el sistema de ecuaciones.

Espero haberte ayudado.

Divides por 2 en el numerador y en el denominador del primer miembro de las ecuaciones cartesianas simétricas (o continuas) de la recta r, y queda:

(x+1/2)/1 = (y-0)/1 = (z-1)/3,

cuyo vector director (recuerda que tienes sus componentes en los denominadores) es:

u = < 1 , 1 , 3 >.

Tienes la ecuación vectorial paramétrica de la recta s, cuyo vector director es:

v = < 1 , 2 , 5 >.

Luego, como el plano buscado es paralelos a la recta r y a la recta s a la vez, puedes plantear que un vector normal a él es el producto vectorial entre los vectores directores de las rectas, y queda:

n = u x v, sustituyes las expresiones de los vectores directores, y queda:

n = < 1 , 1 , 3 > x < 1 , 2 , 5 >, resuelves el producto vectorial, y queda:

n = < -1 , -2 , 1 >.

Luego, tienes el punto Q(2,0,-1) que pertenece al plano, tienes la expresión del vector n = < -1 , -2 , 1 > que es un vector normal a él, por lo que planteas la ecuación vectorial del plano, y queda:

< -1 , -2 , 1 > • < x-2 , y-0 , z-(-1) > = 0, reduces expresiones en las componentes del segundo factor, y queda:

< -1 , -2 , 1 > • < x-2 , y , z+1 > = 0, desarrollas el producto escalar, y queda:

-1*(x-2) - 2y + 1*(z+1) = 0, distribuyes el primero y el tercer término, y queda:

-x + 2 - 2y + z + 1 = 0, reduces términos numéricos, y queda:

-x - 2y + z + 3 = 0, multiplicas en todos los términos de la ecuación por -1, y queda:

x + 2y - z - 3 = 0.

Espero haberte ayudado.

Vienes muy bien hasta tu segunda línea, que te ha quedado:

R = (1/2)*Ln(2x-1) - (1/2)*Ln(2x+1).

Luego, derivas término a término, y queda:

R ' = (1/2)*( 2/(2x-1) ) - (1/2)*( 2/(2x+1) ).

Luego, resuelves coeficientes en ambos miembros, y queda:

R ' = 1/(2x-1) - 1/(2x+1).

Espero haberte ayudado.

El fallo esta en que pongo el dx?

Porque el resultado es el mismo no?

saludos

Así es, Joshua.

El resultado que te hemos mostrado corresponde a la expresión de la derivada de la función.

Luego, lo que has expresado tú al concluir tu desarrollo es el diferencial de la función:

dR = R ' (x) * dx,

sustituyes la expresión de la función derivada, y queda:

dR = ( 1/(2x-1) - 1/(2x+1) )*dx,

distribuyes en el segundo miembro, y queda:

dR = dx/(2x-1) - dx/(2x+1),

que es la expresión que tú has consignado.

Espero haberte ayudado.

Revísalo

Enunciado Miriam