Planteas la "combinación lineal nula" (observa que llamamos: a, b, c, d a los escalares reales, y que llamamos A, B, C, D a los vectores), y queda:

a*A + b*B + c*C + d*D = <0,0,0,0> (1),

reemplazas las expresiones de los vectores, y queda:

a*<1,7,-1,0> + b*<2,13,0,1> + c*<3,17,4,2> + d*<3,15,7,2> = <0,0,0,0>,

resuelves las multiplicaciones entre escalares y vectores en los términos del primer miembro, y queda:

<a,7a,-a,0> + <2b,13b,0,b> + <3c,17c,4c,2c> + <3d,15d,7d,2d> = <0,0,0,0>,

resuelves la suma vectorial en el primer miembro, y queda:

< a+2b+3c+3d , 7a+13b+17c+15d , -a+4c+7d , b+2c+2d > = <0,0,0,0>;

luego, por igualdad entre expresiones vectoriales, igualas componente a componente y queda el sistema de cuatro ecuaciones lineales y de primer grado con cuatro incógnitas:

a + 2b + 3c + 3d = 0,

7a + 13b + 17c + 15d = 0,

-a + 4c + 7d = 0,

b + 2c + 2d = 0:

Luego, a fin de resolver el sistema (observa que es homogéneo) por el Método de Gauss, planteas la matriz ampliada de este sistema, y queda:

 1     2     3     3     0

 7    13   17  15    0

-1      0    4     7    0

 0      1    2     2    0;

a la segunda fila le restas la primera multiplicada por 7, a la tercera fila le sumas la primera, y queda:

1     2     3     3     0

0    -1   -4    -6     0

0     2     7   10    0

0     1     2     2    0;

a la segunda fila la multiplicas por -1, y queda:

1     2     3     3     0

0     1    4     6     0

0     2     7   10    0

0     1     2     2    0;

a la primera fila le restas el doble de la segunda, a la tercera fila le restas el doble de la segunda, a la cuarta fila le restas la segunda, y queda:

1     0    -5    -9     0

0     1     4     6     0

0     0    -1   -2     0

0     0    -2   -4     0;

a la tercera fila la multiplicas por -1, y queda:

1     0    -5    -9     0

0     1     4     6     0

0     0     1     2     0

0     0    -2   -4     0;

a la primera fila le sumas la tercera multiplicada por 5, a la segunda fila le restas la tercera multiplicada por 4, a la cuarta fila le sumas la tercera multiplicada por 2, y queda:

1     0     0     1     0

0     1     0    -2     0

0     0     1     2     0

0     0     0    0     0;

luego, observa que la cuarta fila es nula, planteas el sistema de ecuaciones reducido y escalonado equivalente, y queda:

a + d = 0, aquí restas d en ambos miembros, y queda: a = -d (2),

b - 2d = 0, aquí sumas 2d en ambos miembros, y queda: b = 2d (3),

c + 2d = 0, aquí restas 2d en ambos miembros, y queda: c = -2d (4).

Luego, sustituyes las expresiones señaladas (2) (3) (4) en la ecuación vectorial señalada (1), y queda:

-d*A + 2d*B - 2d*C + d*D = <0,0,0,0>,

divides por el escalar -d (consideramos que su valor no es cero) en todos los términos de la ecuación, resuelves el segundo miembro, y queda:

A - 2*B + 2*C - D = <0,0,0,0>,

que es la ecuación vectorial que consignas en tu enunciado, por lo que puedes concluir que el conjunto de vectores {A,B,C,D} es linealmente dependiente, ya que tienes una combinación lineal entre ellos que es igual al vector nulo.

Espero haberte ayudado.

Recuerda que la función seno (cuya expresión es: f(x) = senx), tiene dominio: D_f = R, e imagen: I_f = [-1,1],

y observa que no es inyectiva,a en su dominio, ya que hay varios valores reales para los que la función toma el mismo valor (por ejemplo: para x = 0, π, 2π, ... y en general: x = kπ, con k ∈ Z, tienes que la función toma el valor 0 para todos ellos, por lo que tienes que la función no admite función inversa en todo el conjunto de los números reales;

luego, recuerda la gráfica de la función seno, y si haces una restricción a su dominio, por ejemplo: D_Rf = [-π/2,π/2], tienes que la función es inyectiva porque a valores distintos de este dominio le corresponden valores distintos de la imagen, y suryectiva porque a cada valor de la imagen: I_f = [-1,1] le corresponde un valor del dominio restringido, por lo que la función resulta invertible en estas condiciones, y su función inversa tiene la expresión que tienes en tu enunciado (H(x) = arcsenx), cuyo dominio es: D_h = [-1,1], y cuya imagen es: I_h = [-π/2,π/2].

Espero haberte ayudado.

Completamos.

Observa que para el argumento de la función arcoseno que tienes en tu enunciado, tienes que deben cumplirse dos condiciones:

a)

x ≠ 1 (observa que para el valor x = 1 se indetermina la expresión);

b)

-1 ≤ x/(1-x) ≤ 1, multiplicas por -1 en los tres miembros de la inecuación doble (observa que cambian las desigualdades), y queda:

1≥ -x/(1-x) ≥-1, escribes la inecuación doble tal como la puedes leer de derecha a izquierda, y queda:

-1≤ -x/(1-x) ≤ 1, sumas y restas 1 en el numerador del miembro central, y queda:

-1≤ (1-x-1)/(1-x) ≤ 1, asocias los dos primer≥os términos en el numerador del miembro central, y queda:

-1≤ ( (1-x)-1 )/(1-x) ≤ 1, distribuyes el denominador y simplificas en el miembro central, y queda:

-1 ≤  1 - 1/(1-x) ≤ 1, restas 1 en los tres miembros de la inecuación doble, y queda:

-2 ≤  -1/(1-x) ≤ 0, multiplicas por -1 en los tres miembros de la inecuación doble (observa que cambian las desigualdades), y queda:

2 ≥ 1/(1-x) ≥ 0, escribes la doble inecuación tal como la puedes leer de derecha a izquierda, y queda:

0 ≤ 1/(1-x) ≤ 2;

luego, observa que para que la inecuación doble sea válida tienes que se debe cumplir la condición:

b₁)

1 - x > 0, aquí restas 1 en ambos miembros, y queda:

-x > -1, aquí multiplicas por -1 en ambos miembros (observa que cambia la desigualdad), y queda:

x < 1 (*);

luego, como tienes que por la condición señalada (*) el denominador del miembro central es estrictamente mayor que cero, multiplicas en ambos miembros de la inecuación doble por (1-x) (observa que no cambian las desigualdades), y queda:

0*(1-x) ≤ 1 ≤ 2*(1-x), resuelves el primer miembro, distribuyes en el segundo miembro, y queda:

0 ≤ 1 ≤ 2 - 2*x;

expresas a la inecuación doble como dos inecuaciones simples simultáneas, y queda:

0 ≤ 1 y a la vez: 1 ≤ 2 - 2*x;

luego, tienes que la primera inecuación es válida para todos los números reales,

y que en la segunda inecuación sumas 2*x y resta 1 en ambos miembros, y queda:

2*x ≤ 1, aquí divides por 2 en ambos miembros, y queda:

x ≤ 1/2,

por lo que tienes que el dominio de la función arcoseno con el argumento que tienes en tu enunciado queda:

D_h = (-∞,1/2].

Espero haberte ayudado.

Recuerda las relaciones:

x ≤ |x|,

|x| ≤ |x|+|y|;

luego, sumas miembro a miembro, y queda:

x + |x| ≤ |x|+|x|+|y|, restas |x| en ambos miembros, y queda:

x ≤ |x|+|y|;

luego, divides por (|x|+|y|) en ambos miembros (observa que esta expresión toma valores positivos fuera del origen de coordenadas), y queda:

x/(|x|+|y|) ≤ 1 (1).

a)

Planteas la definición de continuidad de la función en el origen de coordenadas, y queda:

1°)

f(0,0) = 0;

2°)

Lím( (x,y)→(0,0) ) f(x,y) = Lím( (x,y)→(0,0) ) ( xy/(|x|+|y|) ) = 0,

porque, aplicas el Teorema de Acotación (o "de Encaje", o "del sándwich"), y queda:

0 ≤ |f(x,y) - L| = |xy/(|x|+|y|) - 0| = |xy/(|x|+|y|)| = |y * x/(|x|+|y|)| =

= |y|*|x/(|x|+|y|)| ≤ aplicas la inecuación señalada (1) ≤ |y|*1 = |y|,

y observa que la función cuya expresión es: g(x,y) = |y| tiende a cero para (x,y) tendiendo a (0,0);

3°)

como el valor de la función en el origen de coordenadas coincide con el valor del límite de la función en dicho punto,

puedes concluir que la función es continua en el punto: A(0,0).

b)

Revisas las condiciones necesarias para que la función sea diferenciable en el origen:

b₁)

Tienes el valor de la función en el origen de coordenadas:

f(0,0) = 0,

por lo que tienes que la función está definida en el origen de coordenadas;

b₂)

planteas la definición para calcular la derivada parcial con respecto a x de la función en el origen de coordenadas, y queda:

f_x(0,0) =

= Lím(h→0) ( f(0+h,0) - f(0,0) )/h =

sustituyes expresiones en el argumento del límite, y queda:

= Lím(h→0) ( h*0/( |h|+|0| ) - 0 ) = Lím(h→0) ( 0/( |h|+0 ) ) = Lím(h→0) (0/|h|) = 0,

por lo que tienes que la función admite derivada parcial con respecto a x en el origen de coordenadas;

b₃)

planteas la definición para calcular la derivada parcial con respecto a y de la función en el origen de coordenadas, y queda:

f_y(0,0) =

= Lím(h→0) ( f(0,0+h) - f(0,0) )/h =

sustituyes expresiones en el argumento del límite, y queda:

= Lím(k→0) ( 0*k/( 0+|k| ) - 0 ) = Lím(k→0) ( 0/( |k|+0 ) ) = Lím(k→0) (0/|k|) = 0

por lo que tienes que la función admite derivada parcial con respecto a y en el origen de coordenadas;

b₄)

planteas la expresión de la función para un punto próximo al origen, y queda:

f(0+h,0+k) = f(0,0) + f_x(0,0)*h + f_y(0,0)*k + ε(h,k)*√(h²+k²),

sustituyes expresiones, y la ecuación queda.

hk/(|h|+|k|) = 0 + 0*h + 0*k + ε(h,k)*√(h²+k²),

cancelas términos nulos, y queda:

hk/(|h|+|k|) = ε(h,k)*√(h²+k²),

divides en ambos miembros por √(h²+k²), y queda:

hk / (|h|+|k|)*√(h²+k²) = ε(h,k);

b₅)

planteas el límite para los incrementos h y k tendiendo a cero de la función ε, y queda:

Lím( (h,k)→(0,0) ) ε(h,k) = 

sustituyes la expresión de la función, y queda:

= Lím( (h,k)→(0,0) ) hk / (|h|+|k|)*√(h²+k²) que no existe,

y lo puedes demostrar por medio de a familia de trayectorias cuya ecuación es: k = m*h (te dejo la tarea);

luego, como no se cumple la última condición necesaria, tienes que la función no es diferenciable en el origen de coordenadas.

Espero haberte ayudado.

Para que esos vectores sean linealmente dependientes, podemos hacer una combinacion lineal de esos tres elementos que no sea la trivial,entonces

x1(0,1,a,1)+x2(2,1,5,b)+x3(1,2,1,0)=(0,0,0,0)

De aqui se tiene que 

2x2+x3=0

x1+x2+2x3=0

ax1+5x2+x3=0

x1+bx2=0

De la primer ecuacion

x3=-2x2.....(1)

,usando esto en la segunda ecuacion

x1+x2-4x2=0

x1=3x2....(2)

Usando (1) y (2) en la tercer ecuacion

3ax2+5x2-3x2=0

x2(3a+3)=0

De aqui, x2=0 ò a=-1

Usando  (2) en la cuarta ecuacion

3x2+bx2=0

x2(3+b)=0

De aquí, b=-3 ó x2=0

Nota que si x2=0,pues (1) y (2),entonces x1=0 y x2=0 por lo que se tiene la comb. lineal trivial y asi los vectores serian linealmente independientes,por lo que x2 es distinto de cero,asi se tiene que a=-1 y b=-3 para que esos vectores sean linealmente dependientes

Haz el cambio t=cosx

pero antes de aplicarlo debes dejar todo en función de cosx salvo un senx, para que de esa forma funcione el cambio:

cos⁴(x) sen⁵ (x) = cos⁴(x) sen⁴ (x) sen(x) =  cos⁴(x) (sen² (x))² sen(x) =  cos⁴(x) (1-cos² (x))² sen(x) 

por lo que quedaría:

cos^4(x) sen^5 (x) dx = cos⁴(x) (1-cos² (x))² sen(x)  dx = t⁴ (1-t²)² dt 

desde aqui sigues tu sola.

Recuerda las expresiones para la suma de dos ángulos:

sen(x+π) = senx*cosπ + cosx*senπ = senx*(-1) + cosx*(0) = -senx + 0 = -senx (1);

cos(x+π) = cosx*cosπ - senx*senπ = cosx*(-1) - senx*(0) = -cosx - 0 = -cosx (2);

luego, planteas para la tangente del argumento que tienes en tu enunciado:

tan(x+π) =

expresas a la tangente en función del seno y del coseno de su argumento, y queda.

= sen(x+π) / cos(x+π) = 

sustituyes las expresiones señaladas (1) (2), y queda:

= -senx / (-cosx) =

= senx / cosx =

= tanx.

Espero haberte ayudado.

Muchas gracias puedes ayudarme con los otros por favor

¡Hola! Nos encantaría ayudarte, pero no solemos responder dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los vídeos que David Calle ha grabado como excepción. O de otras asignaturas que no sean Matemáticas, Física y Química. Lo sentimos de corazón… Esperamos que  lo entiendas.

Ojalá algún unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho, lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros).

(-6/3)*(+5)-(42/-7)*(4)+(-9)*(+1/3)=

= (-2)*(+5)-(-6)*(4)+(-9)*(+1/3)=

= (-10)-(-24)+(-3)=

= -10+24-3=11