Calculas las ecuaciones de las rectas que pasan por los vértices opuestos y resuelves el sistema de ecuaciones  que es un sistema de 2x2 es algo muy elemental.
L1 : recta que pasa por A y C
L2 : recta que pasa por B y D

Es decir, tendría que hacer el vector de las dos rectas y a continuación sustituir en una ecuación de la recta? y ya luego en un sistema...

Seguimos la propuesta del colega Neófito.

Es muy conveniente que hagas un gráfico cartesiano y señales en él los cuatro vértices, a fin de visualizar los pares de vértices que son extremos de cada diagonal del cuadrilátero.

1°)

Para la recta que une los vértices A y C tienes:

m = (-10-7)/(0-2) = -17/(-2) = 17/2, que es su pendiente;

luego, plantea la ecuación punto-pendiente (observa que empleamos las coordenadas del vértice A):

y-7 = (17/2)*(x-2), distribuyes en el segundo miembro, y queda:

y-7 = (17/2)*x - 17, haces pasaje de término, reduces términos semejantes, y queda

y = (17/2)*x - 10 (1).

2°)

Para la recta que une los vértices B y D tienes:

m = (0+3)/(-6-8) = 3/(-14) = -3/14;

luego, plantea la ecuación punto-pendiente (observa que empleamos las coordenadas del vértice B):

y+3 = -(3/14)*(x-8), distribuyes en el segundo miembro, y queda:

y+3 = -(3/14)*x + 12/7, haces pasaje de término, reduces términos semejantes, y queda

y = -(3/14)*x - 9/7 (2).

3°)

Igualas las expresiones señaladas (1) (2), y queda:

(17/2)*x - 10 = -(3/14)*x - 9/7, multiplicas por 14 en todos los términos de la ecuación, y queda:

119*x - 140 = -3*x - 18, haces pasajes de términos, reduces términos semejantes, y queda:

122*x = 122, haces pasaje de factor como divisor, resuelves, y queda:

x = 1, que es la abscisa del punto de intersección entre las dos diagonales del cuadrilátero;

luego, reemplazas el valor remarcado en la ecuación señalada (1), y queda:

y = (17/2)*1 - 10 = 17/2 - 10 = -3/2, que es la ordenada del punto de intersección entre las dos diagonales del cuadrilátero;

y puedes verificar la validez de la ordenada, reemplazas el primer valor remarcado en la ecuación señalada (2), y queda:

y = -(3/14)*1 - 9/7 = -3/14 - 9/7 = -3/2;

por lo tanto tienes que el punto de intersección entre las diagonales es: M(1,-3/2).

Espero haberte ayudado.

Pitágoras se encarga de eso , él nos dice que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
En este ejercicios los catetos son iguales , que sean de longitud x . Entonces :
x^2 + x^2 = 6^2 
2x^2 = 36 
x^2 = 18 
x = √18 = √ (2 *3^2) = 3√2

También, si no está de más añadir, puedes usar una propiedad de los triángulos rectángulos, cuando te dicen que un triángulo rectángulo tiene dos catetos de igual longitud, quiere decir que es isósceles rectángulo, por lo cual, la propiedad de ese tipo de triángulos dice que la hipotenusa es √2 veces un cateto cualquiera.

Aplicando la propiedad, sabemos que la hipotenusa mide 6, entonces, podemos decir que 6=x√2 , despejamos x y queda que: x=6/√2 , racionalizando y simplificando, te quedaría que x=3√2 . Solo para el caso en que se de que tengas dos catetos iguales, esta propiedad funciona, en caso contrario, usa Pitágoras, que también es muy útil para este tipo de problemas. 

Huy sorry yo puse 5 cuando debe ser  -5  (en el conjunto solución) y de hecho cambia la situación 
 x + 5 ≥  0  ∧  8 - x > 0 ∧  x ≠ 7 
De donde :
x ∈ [- 5 , 8 ) - { 7 } 
los enteros allí son :  -5 , -4 , -3 , -2 ,  -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6
Desde -5 hasta 5  se anulan al sumar sólo queda  el 6 como resultado final .

*** Ya lo he quitado ese comentario para evitar confusiones .

Has cogido la opción correcta.

Observa la grafica y verás que es >0 en los límites que das en tu ejercicio

¡Muchas gracias!

Porque al operar allí lo reducen a una equivalente que es :
(x - 2 )^2 > 0
Si x fuese 2 porque se tendría :  0 > 0  , esto es falso , por lo tanto x diferente de 2
Para cualquier otro valor real se cumple como allí indica tu tabla de puntos críticos .

Claro, muchísimas gracias a los dos.

Tienes que poner foto del enunciado. Eso es un galimatías.

Paso a paso:

https://matrixcalc.org/es/#diagonalize%28%7B%7B-1,1,-3%7D,%7B-6,4,-9%7D,%7B-2,1,-2%7D%7D%29