b)

 2x3 − 3x2 + 4x − 2  |__ x2 − 5x + 5 ____

-2x³+10x²-10x                 2x + 7

---------------------

            7x²  -6x - 2

           -7x²+35x-35

          --------------------

                    29x-37

Dividendo=   cociente+ (resto/divisor)

2x3 − 3x2 + 4x − 2=   2x+7+ ((29x-37)/(x²-5x+5))

c)

 x4 − x3 + 3x2 + 4  |__ x2 − 5x + 5 ____

-x⁴ + 5x³- 5x²               x² + 4x + 18

-------------------

        4x³ -2x² + 4

      -4x³ +20x²-20x

     ----------------------.

             18x² -20x+4

            -18x²+90x-90

           ----------------------    

                    70x-86

d)

 2x3 − 3x2 + 4x − 2  |__ x − 2 ____

-2x3 + 4x2                    2x² + x + 6

--------------

           x2  + 4x

           -x2 + 2x

          ------------

                   6x − 2 

                  -6x + 12

                --------------

                            10

Dividendo=   cociente+ (resto/divisor)

2x3 − 3x2 + 4x − 2=    2x² + x + 6+ (10/(x − 2))

a) 

Q(x) • R(x)  =

(x4 − x3 + 3x2 + 4) • (x2 − 5x + 5) = 

x4•x2 + x4•(-5x) + x4•5 - x3•x2 - x3•(-5x) - x3•5 + 3x2•x2 + 3x2•(-5x) + 3x2•5 + 4•x2  + 4•(-5x) + 4•5 =

 x⁶       -      5x⁵    + 5x4  -     x⁵   -     5x⁴     - 5x3    +    3x⁴    -      15x³  +  15x2    + 4x2    -    20x   +  20  =  

x⁶       -      5x⁵    -     x⁵   + 5x4  -   5x⁴  +    3x⁴   - 5x3      -      15x³  +  15x2    + 4x2    -    20x   +  20  =

x⁶          -            6x⁵               +          3x⁴                         -      20x³        +         19x2          -    20x   +  20                        

P(x) − Q(x) • R(x) =     P(x) − (Q(x) • R(x)) =

(2x3 − 3x2 + 4x − 2) - (x⁶   -  6x⁵    +  3x⁴   - 20x³  +  19x2  -    20x   +  20) =

2x3 − 3x2 + 4x − 2 - x⁶   +  6x⁵    -  3x⁴   + 20x³  -  19x2  +  20x   - 20 =

 - x⁶   +  6x⁵    -  3x⁴   + 20x³ + 2x3 − 3x2 -  19x2  +  20x  + 4x − 20 -2=

 - x⁶   +  6x⁵    -  3x⁴   + 22x³  − 22x2+  24x  − 22

e) 

P(x) • R(x)  =

(2x3 − 3x2 + 4x − 2) • (x2 − 5x + 5) = 

2x3•x2 + 2x3•(-5x) + 2x3•5 - 3x2•x2 - 3x2 •(-5x) - 3x2•5 + 4x•x2 + 4x•(-5x) + 4x•5 - 2•x2  - 2•(-5x) - 2•5 =

 2x5       -      10x⁴    + 10x³  -     3x⁴   +     15x³     - 15x²    +  4x³    -      20x²  +  20x - 2x2    +   10x  -  10  =  

 2x5       -      10x⁴  -     3x⁴  + 10x³    +     15x³       +  4x³    -      20x²  - 15x²  - 2x2 +  20x     +   10x  -  10  =  

 2x5              -      13x⁴              +                  29x³                    -                    37x²                +  30x                -  10 

Q(x) − P(x) • R(x) =    Q(x) − (P(x) • R(x)) =

(x4 − x3 + 3x2 + 4) - (2x5 - 13x⁴   + 29x³     -      37x² +  30x   -  10 ) =

x4 − x3 + 3x2 + 4 - 2x5 + 13x⁴   - 29x³     +      37x² -  30x   +  10 =

- 2x5 + 13x⁴ + x4 - 29x³ − x3 + 3x2 -  30x   +  10 + 4 =

 - 2x5 + 14x⁴- 30x³  + 3x2 -  30x   +  14

¿Con o sin L'Hôpital?

Sin L'Hôpital, lo aprecio mucho!

Vamos con una orientación para tu primer ejercicio.

Puedes plantear la sustitución (cambio de variable): x = w¹⁵, y observa que w tienede a -1 cuando x tiende a -1,

luego sustituyes y el límite queda:

L = Lím(w→-1) (1+w⁵)/(1+w³),

luego factorizas en el numerador y en el denominador (observa que tienes sumas de potencias impares iguales), y queda:

L = Lím(w→-1) (1+w)(1-w+w²-w³+w⁴) / (1+w)(1-w+w²),

luego simplificas, y queda:

L = Lím(w→-1) (1-w+w²-w³+w⁴) / (1-w+w²) = 5/3.

Espero haberte ayudado.

Muchas gracias a ambos.

Me acabo de dar cuenta que por alguna extraña razón solo copie la mitad del enunciado del segundo ejercicio, me pide también hallar la asintota horizontal, que es esta la que queria, ya que la vertical es evidente. Me podrán ayudar?

Tienes la expresión de la función:

y = x*ln( e - (1/3)x ), cuyo dominio es: D = (-∞,3e).

Luego, estudiamos en límite:

Lím(x→3e-) x*ln( e - (1/3)x ) = -∞,

ya que el primer factor tiende a 3e, y el segundo factor tiende a -∞ (observa que el argumento del logaritmo tiende a cero desde valores positivos;

por lo tanto tienes que la recta cuya ecuación es: x = 3e es asíntota vertical inferior de la gráfica de la función.

Luego, observa que la gráfica de la función no presenta asíntota horizontal:

Lím(x→-∞) x*ln( e - (1/3)x ) = +∞,

ya que el primer factor tiende a +∞, t el segundo factor tiende a +∞ (observa que el argumento del logaritmo tiende a +∞).

Espero haberte ayudado.

Me agregáste un paréntesis a la función, lo que expresé es: y = xln ( e - 1/[3x])

La respuesta de mi trabajo practico es: "Asíntota horizontal en x = 3/e y para x = 0 se analizará más adelante"

Lo que no puedo ver es porqué la función → 3/e ?

Me extrañaba que no me contesten, es mi primera pregunta en esta página y no me llegó el aviso al email creo que no funciona porque tengo activada la opción, disculpas por la tardanza.

1)

Recuerda la definición de una potencia con exponente fraccionario:  ^r√(x^p) = ( ^r√(x) )^p = x^p/r.

a) √(-64) = √(-1*64) = √(-1*2⁶) = √(-1)*√(2⁶) = √(-1)*2^6/2 = √(-1)*2³ = √(-1)*8, y observa que no es un número real.

b) √(-1/10000) = √(-1*10^-4) = √(-1)*√(10^-4) = √(-1)*10^-4/2 = √(-1)*10^-2 = √(-1)/10² = √(-1)/100, y observa que no es un número real.

c) ( ∛(7) )⁹ = 7^9/3 = 7³ = 343.

d) ( √( √(6) )² = ( (6^1/2)^1/2 )² = (6^1/4)² = 6^2/4 = 6^1/2.

e) ∛(x⁴)*√(x³) / ⁶√(x) = x^4/3*x^3/2/x^1/6 = x^4/3+3/2-1/6 = x^8/3.

f) ⁵√(100)* ( ⁵√(10²) )⁴ = ⁵√(10²)*(10^2/5)⁴ = 10^2/5*10^8/5 = 10^2/5+8/5 = 10² = 100.

Espero haberte ayudado.

1.

a)  √−64 = √-1 * √64 = i * 8 = 8i

b) 4√−1/10000 = ⁴√-1 *( ⁴√1/10000) =  ⁴√-1 * (⁴√1/⁴√10000) =  ⁴√-1 * (1/(⁴√10000)) =  (⁴√-1)/(⁴√10000) = (⁴√-1)/10 = (-1^1/4)/10 

c) (∛7)9 = 7^9/3 = 7^3/1

d) (√ √6)2 = 6^1/2*1/2*2 = 6^1/2 = √6

3.- Expresa en forma de potencia:     

a) √2•∛4•5√16  =  2^1/2*(2²)^1/3*(2⁴)^1/5 = 2^1/2*2^2/3*2^4/5  = 2^{1/2+ 2/3+ 4/5} = 2^{(15+20+24)/30} = 2^59/30

b) 5 √a7 •∛a3 •√a = a^7/5*a^3/3*a^1/2= a^(14+10+5)/10 = a^29/10

2)

a) 1/⁸√a⁵) = 1/a^5/8 = (1/a^5/8)*(a^3/8/a^3/8) = a^3/8/a^5/8+3/8 = a^3/8/a¹ = ⁸√(a³)/a.

b) ⁴√(27)*⁴√(3⁵) / ( ⁴√(9) )³ = ⁴√(3³)*⁴√(3⁵) / ( ⁴√(3²) )³ = 3^3/4*3^5/4 / (3^2/4)³ = 

= 3^3/4+5/4/3^6/4 = 3^8/4/3^6/4 = 3^8/4-6/4 = 3^2/4 = 3^1/2.

c) Por favor, consigna paréntesis en la expresión a racionalizar.

d)

( 3√(6)+2√(2) ) / (3√(3)+2) = ( 3√(6)+2√(2) )*(3√(3)-2)) / (3√(3)+2)*(3√(3)-2) =

distribuyes en el numerador y en el denominador (observa que tienes cancelaciones):

= ( 9√(6)√(3) - 6√(6) + 6√(2)√(3) - 4√(2) ) / (9( √(3) )² - 4) =

= ( 9√(18) - 6√(6) + 6√((6) - 4√(2) ) / (9*3 - 4) = 

= ( 9*√(9*2) - 4√(2) ) / (27-4) =

= ( 9*√(9)*√(2) - 4√(2) ) / 23 =

= ( 9*3*√(2) - 4*√(2) ) / 23 =

= ( 27*√(2) - 4*√(2) ) / 23 =

= 23*√(2)/23 =

= √(2).

Espero haberte ayudado.

Haz un gráfico, y observa que las curvas se cortan en los puntos: A(0,0) y B(1,1).

Luego, observa que la gráfica de la función f (y = x^1/2) está "más alejada" del eje de giros (OX), y que la gráfica de la función g (y = x²) está "más cerca" del eje de giros, para todos los puntos interiores del intervalo:

0 ≤ x ≤ 1.

Luego, plantea la expresión del volumen de revolución generado al rotar la región limitada por las dos gráficas, alrededor del eje OX:

V = π*_a∫^b ( f(x) )² - ( g(x) )² )*dx,

luego sustituyes valores y expresiones, y queda:

V = π*₀∫¹ ( (x^1/2)² - (x²)² )*dx = π*₀∫¹ (x - x⁴)*dx = π*[ x²/2 - x⁵/5 ] = evalúas = π*( (1/2-1/5)-(0-0) ) = 3π/10.

Espero haberte ayudado.

Tienes el intervalo: 0 ≤ x ≤ 3.

Tienes la gráfica de la función f (y = x³+1), y tienes la gráfica de la función g (y = 0), que coincide con el eje de giros.

Luego, plantea el volumen de revolución alrededor del eje OX:

V = π*a∫b ( f(x) )2 - ( g(x) )2 )*dx,

luego sustituyes valores y expresiones, y queda:

V = π*0∫1 ( (x³+1)2 - (0)2 )*dx = π*0∫1 ( (x³+1)2 )*dx,

desarrollas el binomio elevado al cuadrado, y queda:

V = π*0∫1 (x⁶+2x³+1)*dx = π*[x⁷/7+2x⁴/4+x] = evalúas:

= π*( 3⁷/7+3⁴/2+3) - (0+0+0) ) = π*(2187/7+81/2+3) = 4983π/14.

Espero haberte ayudado.

Pon foto del enunciado original.

Has derivado correctamente, solo observa que puedes operar un poco más para llevar todo a la mínima expresión.

Vamos con una orientación.

Tienes la ecuación que define implícitamente a z como función de x e y;

por lo que consideras: z = f(x,y);

y es muy recomendable, para obtener expresiones de derivadas de orden dos o superior, derivar siempre a partir de las ecuaciones implícitas, a fin de evitar complicaciones.

Luego, tienes la ecuación:

x² + y² + z² + x*y + 2z - 1 = 0.

a)

Derivadas parciales primeras.

Derivas con respecto a x, y queda:

2x + 2z*f_x + y + 2f_x = 0 (1), haces pasajes de términos, extraes factor común en el primer miembro, y queda:

(2z+2)*f_x = -2x-y, haces pasaje de factor como divisor, y queda:

f_x = (-2x-y)/(2z+2), con la condición: 2z+2 ≠ 0, de donde tienes: z ≠ -1.

Derivas con respecto a y, y queda:

2y + 2z*f_y + x + 2f_y = 0 (2), 

haces pasajes de términos, extraes factor común en el primer miembro, y queda:

(2z+2)*f_y = -x-2y, haces pasaje de factor como divisor, y queda:

f_y = (-x-2y)/(2z+2), con la condición: 2z+2 ≠ 0, de donde tienes: z ≠ -1.

b)

Derivadas parciales segundas que te piden en tu enunciado.

Derivas con respecto a x en la expresión señalada (1), y queda:

2 + 2f_x*f_x + 2z*f_xx + 2f_xx = 0,

divides por 2 en todos los términos de la ecuación, haces pasajes de términos, extraes factor común en el primer miembro, y queda:

(z+1)*f_xx = -f_x²-1, haces pasaje de factor como divisor, y queda:

f_xx = (-f_x²-1)/(z+1), con la condición: z ≠ -1, y solo queda que sustituyas la expresión de la derivada con respecto a x.

Derivas con respecto a x en la expresión señalada (2), y queda:

2 + 2f_y*f_y + 2z*f_yy + 2f_yy = 0,

divides por 2 en todos los términos de la ecuación, haces pasajes de términos, extraes factor común en el primer miembro, y queda:

(z+1)*f_yy = -f_y²-1, haces pasaje de factor como divisor, y queda:

f_yy = (-f_y²-1)/(z+1), con la condición: z ≠ -1, y solo queda que sustituyas la expresión de la derivada con respecto a y.

Espero haberte ayudado.