a)

Observa que tienes una ecuación polinómica de grado cinco, por lo que tienes que admite al menos una raíz real (observa que su grado es impar), y a lo sumo cinco raíces reales.

Luego, evalúas la expresión de la función cuya expresión tienes en el primer miembro de la ecuación (observa que es continua en R), y tienes:

f(-2) < 0,

f(-1) > 0,

f(0) > 0,

f(1) < 0,

f(2) > 0,

f(3) > 0;

luego, de acuerdo con el Teorema de Bolzano, puedes concluir que la función presenta:

al menos una raíz en el intervalo (-2,-1),

al menos una raíz en el intervalo (0,1),

al menos una raíz en el intervalo (1,2),

y como los tres intervalos son disjuntos, puedes concluir que la ecuación de tu enunciado tiene al menos tres soluciones reales.

b)

Observa que la función es discontinua en x = 2, por lo que no puede aplicarse el Teorema de Bolzano en ningún intervalo cerrado que contenga a este valor, ya que una de sus hipótesis establece que la función debe ser continua en el intervalo cerrado en estudio.

Espero haberte ayudado.

la primera

a)

Vamos con una orientación.

Extraes factor común en la segunda fila, extraes factor común en la tercera fila, recuerda que los factores comunes de fila o de columna pueden ser extraidos del determinante, y queda (observa que llamamos |A| al determinante cuyo valor es 2 que tienes en tu enunciado):

D = 3*2*|A| = 6*|A| = 6*2 = 12.

b)

Tienes el determinante (observa que agregamos un término nulo al tercer elemento de la tercera fila):

D =

   0         3         6

   4         0         2         =

u+2     v+3     w+0

descompones en suma de dos determinantes según los términos de los elementos de la tercera fila, y queda:

    0      3      6               0      3      6

=  4      0      2      +       4      0      2    =

    u      v      w               2      3      0

extraes factor común en la segunda fila del primer determinante, resuelves el segundo determinante, y queda:

=      2*|A|          +            84             =

reemplazas el valor del determinante que tienes en tu enunciado en el primer término, y queda:

=      2*2              +            84             =

=        4                 +           84             =

=      88.

Espero haberte ayudado.

Pon foto del enunciado original, por favor. El espacio vectorial que has puesto es de dimensión 3.

Enunciado revisado:

pero como se saca con la formula? la grafica no me hace falta

¡Ya tienes todo casi hecho!

Has planteado correctamente:

f(1) = 1,

f'(1) = 4;

y has planteado correctamente la ecuación general de la recta tangente a la gráfica de la función en uno de sus puntos:

y - f(a) = f'(a)*(x - a),

luego, observa que para el punto que tienes en tu enunciado tienes: a = 1, reemplazas, y queda:

y - f(1) = f'(1)*(x - 1),

reemplazas los valores de la función y de la función derivada para el punto en estudio, y queda:

y - 1 = 4*(x - 1), distribuyes el segundo miembro, sumas 1 en ambos miembros, y queda:

y = 4*x - 3.

Espero haberte ayudado.

Ah vale gracias y para sacar el punto que falta ? Sería la pendiente no? En el enunciado puse el primer punto pero el segundo con interrogación tal que así (1,?) Entonces una vez sacas la ecuación y=4x-3. El punto que faltaría sería el 4? 

se trata de que DESPUES DE IR A CLASE (ver los vídeos relacionados con vuestras dudas) enviéis dudas concretas, muy concretas. Y que nos enviéis también todo aquello que hayais conseguido hacer por vosotros mismos. Paso a paso, esté bien o mal. No solo el enunciado. De esa manera podremos saber vuestro nivel, en que podemos ayudaros, cuales son vuestros fallos.... Y el trabajo duro será el vuestro. Nos cuentas ¿ok? #nosvemosenclase ;-)

Es correcto.

Hago ambas cosas? 

Vamos con una orientación.

Tienes la expresión de la función compuesta:

f(x) = cos(π*g[x]) (1);

luego, planteas la expresión de la función derivada primera (observa que debes aplicar la Regla de la Cadena), y queda:

f'(x) = -π*sen(π*g[x])*g'(x) (2);

luego, planteas la expresión de la función derivada segunda (observa que debes aplicar la Regla de una Multiplicación y la Regla de la Cadena), y queda:

f''(x) = -π²*cos(π*g[x])*[g'(x)]² - π*sen(π*g[x])*g''(x) (3).

Luego, queda que sustituyeas las expresiones señaladas (3) (2) (1) en la ecuación diferencial de tu enunciado, y verifiques si la función f la satisface (te dejo la tarea).

Espero haberte ayudado.