Los dos primeros dependen básicamente de multiplicar matrices, si sabes hacerlo, lo único que tienes que hacer a continuación es resolver, para cada "posición" de la matriz la ecuación correspondiente.

En el primero, por ejemplo, una vez tengas A^2, iguálala a la que te dan y resuelve las cuatro ecuaciones; los términos de arriba a la izquierda deben ser iguales, los de arriba a la derecha deben ser iguales, y así.

En el segundo, supongo que el problema es despejar X (que es una matriz de 2x2). El truco está en multiplicar por los inversos de las matrices, con mucho cuidadito, ya que las matrices en general no conmutan, y por tanto importa por dónde multipliques. En tu caso, se empezaría así:

A*X*B = 2*C

Multiplico en ambos lados de la ecuación, por la izquierda, por A^-1.

(A^-1*A)*X*B = (A^-1) * 2*C

Como A^-1 * A = I (la identidad), me queda:

X*B = (A^-1) * 2*C

Ahora, para cargarte la B de la izquierda, solo tienes que multiplicar por la inversa de B en ambos lados. Hay que hacerlo por la derecha, para que B y B^-1 den lugar a la identidad. Es una de esas cosas que hacen click en la cabeza en un momento determinado, sobre todo intenta no olvidar que las matrices no conmutan (salvo una matriz y su inversa, que en cualquier orden dan lugar a la identidad)

En el sexto, solo tienes que despejar X y hallar el determinante de esa matriz. Si el determinante es cero la matriz no posee inversa, y para cualquier otro valor, sí.

Si a doble vuelta quiere decir que cada equipo juega dos veces con cada uno de los demás (que no estoy seguro, pero parece que sí), al haber doce equipos,  cada uno tiene once equipos enemigos, jugando dos veces con cada uno, serían 22 partidos.

Ahora, en cuanto a las ecuaciones, digamos que (v) es el número de victorias, y (d) el de derrotas.

-Como no puede haber empates, la cantidad de derrotas y de victorias deben sumar los partidos jugados, 22.

-La cantidad de puntos serán, dos ganados por cada victoria (positivo) y uno ganado por cada derrota (también positivo).

Con esos tienes dos ecuaciones, con dos incógnitas, así que ahí está la solución.

Observa que el equipo de Luís tiene once equipos más compitiendo, por lo que jugará once partidos por vuelta, y como el torneo es a doble vuelta, entonces tienes que jugará en total 22 partidos.

Luego, con la idea que plantea el colega Miguel, tienes la ecuación:

v + d = 22, de donde despejas: d = 22 - v (1).

Luego, observa que para la cantidad de puntos obtenidos por el equipo de Luís tienes la ecuación:

2*v + 1*d = 36, aquí sustituyes la expresión señalada (1), y queda:

2*v + 1*(22 - v) = 36, distribuyes el segundo término, y queda:

2*v + 22 - v = 36, restas 22 en ambos miembros, reduces términos semejantes, y queda:

v = 14, que es el número de victorias;

luego, reemplazas este último valor remarcado en la ecuación señalada (1), resuelves, y queda:

d = 8, que es el número de derrotas.

Espero haberte ayudado.

Si se tienen x piezas, y cada una se vende a 'y' euros, originalmente ganaba:

x*y = 1050

Si se le rompen 5 piezas (x-5), y aumenta el precio en 1 euro (y+1), para ganar el mismo dinero tendrá que:

(x-5)*(y+1) = 1050

Buenas Marta. Tienes un pequeño fallo en la primera ecuación. Debería ser:

4*y - 8 = x

Porque, poniendo cuatro fotos por página (4y) me sobran dos páginas, en las que caben 8 fotos (-8).

Lo demás está correcto ;)

Si llamas x a la cantidad de fotos, y llamas y a la cantidad de hojas, entonces tienes:

x = 4*(y - 2) (1),

y observa que tienes que la cantidad de hojas empleadas es (y - 2), ya que sobran dos hojas;

luego, también tienes:

x - 10 = 3*y (2),

y observa que la cantidad de fotos empleadas es (x - 10), ya que sobran diez fotos.

Luego, sustituyes la expresión señalada (1) en la ecuación señalada (2), y queda:

4*(y - 2) - 10 = 3*y, distribuyes el primer término, y queda:

4*y - 8 - 10 = 3*y, reduces términos semejantes, y queda:

4*y - 18 = 3*y, restas 3*y y sumas 18 en ambos miembros, y queda:

y = 18 hojas;

luego, reemplazas este último valor remarcado en la ecuación señalada (1) y en la ecuación señalada (2), resuelves, y en ambas ecuaciones queda:

x = 64 fotos.

Espero haberte ayudado.

Buenas Patricia. El poliedro tiene cuatro caras distintas, vamos a llamarlas:

Base (B), Caras laterales iguales (L1, L2) y cara lateral distinta (D).

Todas ellas son triángulos, y su área seá la mitad de la base por la altura.

Para L1 y L2 te dan la base y la altura directamente, esas son fáciles.

De B solo tienes la altura, pero puedes sacar la base (más concretamente la mitad de la base) utilizando el teorema de pitágoras y el dato de 50dm. Prueba a ver si te sale y si no, te  hago un dibujo.

Por último, en D, falta solo la altura. No se me ocurre ninguna forma directa de sacarla, aunque lo mismo lo hay. La mejor forma que se me ocurre es utilizar el teorema de Pitágoras en el triángulo que contiene a h, la altura de D, y la línea que va desde la mitad de la base de D hasta la mitad de cualquiera de las otras dos bases. La distancia de esa línea la puedes sacar utilizando antes el TP con b y la mitad de la línea de 50dm.

Un poco lío así escrito, pero si te guías con un buen dibujo seguramente sea fácil de entender.

Se puede resolver con integrales?

Imagino que estás con el tema de matrices. Te doy un empujoncillo. El determinante de una matriz es cero si dos o más líneas son proporcionales. Escribiendo la matriz que contiene a los coeficientes de las incógnitas (ignorando lo que va después del "=", y teniendo en cuenta que k también es parte de los coeficientes) y calculando el determinante de esa matriz e igualando el resultado a cero, tendrás una ecuación en función de la variable k. Aquellos valores de 'k' para los que esa ecuación de cero, serán los que hagan que el sistema NO TENGA una cantidad finita de soluciones.

Sustituyendo esos valores de 'k' en el conjunto original de ecuaciones (incluyendo lo que va después del "="), aquellos valores para los que ecuaciones sean exactamente iguales o proporcionales (por ejemplo, una el doble de la otra), harán que el sistema tenga infinitas soluciones, y los que den líneas que no sean proporcionales, harán que el sistema sea también irresoluble. Esto se puede hacer también con matrices, fíjate en la frase que te subrayo al principio.

Espero haberte aclarado algo.

Otra forma un poco distinta a la de César (calculando los rangos por determinantes)

Sistema lineal de ecuaciones 

Y muchas gracias a ambos lo he entendido finalmente 

x(x-a)-b(x-a)=x^2-ax-bx+ab

Es correcto.

Estadística - Parámetros estadísticos