Para que sea contínua en el punto que te dan (x=3), solo necesitas que ambas funciones valgan lo mismo en ese punto.

Con la primera ecuación busca el valor de f(3), e iguala eso a la segunda. El valor que te quede en k al despejar esa igualdad es el que te piden.

Observa que puedes factorizar el numerador y el denominador de la expresión de la primera rama de la función, y antes de poder simplificarla, queda:

f(x) =

(x-3)*(x-2) / (x-3)*(x+1)          si x ≠ 3,

2*k - 3                                     si x = 3;

luego, observa que la expresión de la primera rama se indetermina para x = 3, que no pertenece a su subdominio, y en x = -1, por lo que tienes que -1 no pertenece al dominio de la función,

y como 3 está definido en forma particular en la segunda rama de la función,

entonces tienes que el dominio de esta función es:

D = (-∞,-1)∪(-1,+∞);

luego, una vez establecido el dominio de la función, puedes simplificar en la expresión de su primera rama, y su expresión queda:

f(x) =

(x-2)/(x+1)                  si x ≠ -1 y x ≠ 3,

2*k - 3                        si x = 3.

Luego, observa que tienes que la función presenta dos valores notables:

1°)

x = -1, para el cuál la función es discontinua, y para caracterizar esta discontinuidad, planteas los límites laterales, y queda:

a)

Lím(x→-1-) f(x) = Lím(x→-1-) (x-2)/(x+1) = +∞,

ya que el numerador tiende a -3, y el denominador tiende a 0 desde valores negativos;

b)

Lím(x→-1+) f(x) = Lím(x→-1+) (x-2)/(x+1) = -∞,

ya que el numerador tiende a -3, y el denominador tiende a 0 desde valores positivos;

luego, puedes concluir que la gráfica de la función presenta discontinuidad inevitable (o esencial) tipo asíntota vertical (o salto infinito) en x = -1.

2°)

x = 3, que es el punto de corte entre las ramas de la expresión de la función (en realidad, observa que la segunda rama solo comprende el valor que toma la función para x = 3), por lo que planteas la definición de continuidad de una función en un punto, y queda:

a)

f(3) = 2*k - 1 (1),

b)

planteas el límite de la función (observa que para valores menores o mayores que x = 3 tienes que estos valores pertenecen al subdominio de la primera rama, y queda:

Lím(x→3) f(x) = Lím(x→3) (x-2)/(x+1) = 1/4 (2),

c)

luego, para que la función sea continua, planteas la condición de continuidad, y queda:

f(3) = Lím(x→3) f(x), sustituyes las expresiones señaladas (1) (2), y queda:

2*k - 1 = 1/4, aquí sumas 1 en ambos miembros, luego divides por 2 en ambos miembros, y queda:

k = 5/8;

y puedes concluir que la función es continua en x = 3 solo si la indeterminada k toma este último valor remarcado.

Espero haberte ayudado.

Hola Bruno,

desde unicoos no resolvemos dudas de nivel universitario.

De todos modos si hay algún estudiante universitario que se anime a responder tu duda, sería genial.

Un saludo,

Vlad

Para ejercicios tan complicados, sería preferible que dijéseis qué metodos habéis probado, para que todos ahorremos tiempo. Te doy indicaciones con la primera serie y ya iremos con las demás.

La serie se puede resolver por la "prueba de la raíz" (acabo de probar y funciona). Cuando lo apliques te quedarán dos términos. Uno de ellos es una constante (1/3) y el segundo se parece mucho mucho a la forma que tiene el número 'e' en su definición como límite. Operando con cuidado puedes llegar a ese límite y tendrás el radio de convergencia.

Ah, el tercero también es facilito. Te doy una pista. Si x=8 entonces (x-5)^n = 3^n, lo que se cancelaría con el 3^n del denominador y te daría una serie convergente (lo que quedaría es una suma geométrica con el denominador mayor que el numerador).

A partir de ahí, con pensar un poco lo sacas.

Mera coincidencia.    Las muestras de tamaño 2 sin reposición son 3,7 ;  3, 11;  7, 11   cuyas medias son 5, 7 y 9 respectivamente. El mínimo es 5, el máximo es 9. La diferencia entre ambos es 4.

El número de muestras en C (9,7) = 36.  La media de todos los valores es 0,5.    La suma de los promedios de las 36 muestras es 36.0,5 = 18.

f(0) = ln 6.       2x²+4x-6 = 0    ;    x = -3,  x = 1.     Dominio:  R - {-3,1}    Es continua en x = 0, pues lim(x->0) f(x) = f(0)

en x=0   tenemos f(0)=ln|-6|=ln(6) si hayas los limites laterales verás que es continua

A ver si lo ves mejor

No, sigo sin verlo, por ejemplo si mete dos series infinitas una dentro de la otra como le da un "1+x+x^2/2..."?