El primero no es espacio vectorial, porque al multiplicar un racional q por a + b√7    con a y b enteros, me da  qa + ab√7  de modo que qa y qb en general no son enteros. Por lo tanto el producto sobre Q no me da un elemento de Z [√7].  Por ejemplo:

1+2√7  está en Z [√7].   Si lo multiplico por 1/2 ∈ Q   obtenemos  1/2 + √7   que evidentemente ∉ Z [√7].

Sin embargo el siguiente no presenta ese problema y verifica todas las propiedades que lo configuran como espacio vectorial sobre Q.

Este es similar a uno de los anteriores, donde debes lograr las condiciones para aplicar un cambio de variable.

Observa que a la izquierda tienes un denominador 3^-x

Dividir entre algo es lo mismo que multiplicar por su inverso. Y el inverso de una potencia es la base elevada al exponente opuesto.

Con lo cual puedes plantearlo:

Antes también mencionamos la propiedad, que si el exponente es una suma o resta, es lo mismo que el producto de los exponentes con esa base elevado a cada término de la suma.

Así que desarrollamos de esa manera:

Y los que tienen x los escribes como dos exponentes:

Ya tenemos una buena expresión para el cambio de variable:

Ahora intenta igualar eso a 0. Te quedará una ecuación de segundo grado, le encuentras las raíces y luego vuelves a trabajar con la expresión del cambio de variable.

La solución es x=2 pero intenta operar desde ahí hasta llegar a ella, así practicas eso.

Suerte.

En la segunda propiedad lo que quise decir es: 

Un número elevado a otro, y todo eso elevado a otro, es lo mismo que la base inicial elevada al producto de los dos exponentes.

La parte derecha de la igualdad:

Igualas esas dos expresiones:

Igual base permite igualar los exponentes:

Operas para despejar x:

Puedes quitar el 3 porque está a ambos lados de la igualdad como factor:

Bueno, en este caso para agilizar simplemente podías igualar los exponentes del 6, porque todo lo demás era igual:

tan40º=x/y

tan50º=(x+2)y

Sistema:

y=x/tan40º

y=(x+2)/tan50º

Sustituye los valores de las tan, iguala y despeja x.

Pon el enunciado original. No lo veo claro.

Tiene pinta de necesitar dos cambios de variable.

Reescribimos aplicando leyes de los exponentes, como bien hiciste para tener ese 4 como una potencia de base 2:

Nuevamente propiedades de los exponentes:

Ahora para el segundo término, el exponente es una resta, se puede escribir como producto de potencias en base 2 de los términos de la resta:

Ahora intentamos propiciar unas buenas condiciones para el cambio de variable, también aplicando propiedades de los exponentes:

Nuestro cambio de variable será:

Así que:

Pasamos el 64 multiplicando y aplicamos distributiva:

Pasamos el -1 para que quede igualada a 0:

Nuevamente cambio de variable:

Así que:

Aplicas fórmula general y verás que la raíz es

z=1/8

Ahora retomamos los cambios de variable

Despejas t:

Y vuelves al primer cambio de variable:

Reescribes el 1/2 como potencia en base 2:

Como tienen igual base, puedes igualar los exponentes y ese es el resultado:

x=-1

Recuerda que el gráfico de una función cuadrática es una parábola, y el eje de simetría es la vertical que pasa por el vértice. Así que calculas la x del vértice con la fórmula:

Sustituyes con los datos de tu función siendo b=-12 y a=3

Con lo cual el eje de simetría es x=2

Y el vértice es (2,0), porque sustituyes x en la función por el 2 que encontraste, y la imagen resultante es el valor en y del punto.

Pues, tienes un error en los cálculos!!!!

Comienza por tratar a cada término del primer miembro de tu ecuación por separado:

16^x = (4²)^x = 4^2x = (4^x)² (1);

31*2^2(x-2) = 31*2^2x-4 = 31*2^2x*2^-4 = 31*(2²)^x*(1/2⁴) = 31*4^x*(1/16) = (31/16)*4^x (2).

Luego, sustituyes las expresiones señaladas (1) (2) en tu ecuación,y queda:

(4^x)² + (31/16)*4^x = 1/8,

aquí aplicas la sustitución (cambio de incógnita):

4^x = w (1), y observa que w toma valores estrictamente positivos;

luego, sustituyes la expresión señalada (1) en la ecuación, y queda:

w² + (31/16)*w = 1/8, multiplicas por 16 en todos los términos, y queda:

16*w² + 31*w = 2, restas 2 en ambos miembros, y queda:

16*w² + 31*w - 2 = 0,

que es una ecuación polinómica cuadrática, cuyas soluciones son:

1°)

w = (-31 - 33)/32 = -2,

que no tiene sentido para este problema (recuerda que w toma valores estrictamente positivos);

2°)

w = (-31 + 33)/32 = 1/16,

que sí tiene sentido para este problema;

luego, reemplazas este último valor en la ecuación señalada (1), y queda:

4^x = 1/16, expresas al segundo miembro como una potencia cuya base es 4, y queda:

4^x = 4^-2,

aquí igualas exponentes (observa que las bases de las potencias son iguales), y queda:

x = -2.

Espero haberte ayudado.