Observa que la integral doble que has propuesto corresponde a una región de integración que es un disco completo, con centro en el origen de coordenadas y radio cuatro, pero observa que la región de integración es la mitad "derecha" de dicho disco (observa que la variable x toma valores positivos comprendidos entre cero y cuatro), por lo que tienes un cuarto de disco en el cuarto cuadrante y otro cuarto de disco en el primer cuadrante;
luego, tienes que con el paso a coordenadas polares (no olvides el factor de compensación Jacobiano: |J| = r) queda:
I = -π/2∫π/20∫4 (r*cosθ)*(r*senθ)*r*dr*dθ = -π/2∫π/20∫4 (r3*senθ*cosθ)*dr*dθ = -π/2∫π/20∫4 ( r3*(1/2)sen(2*θ) )*dr*dθ,
extraes el factor constante, integras para la primera variable (r, y observa que indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:
I = (1/2)*-π/2∫π/2 sen(2*θ)*[ r4/4 ]*dθ = (1/2)*-π/2∫π/2 sen(2*θ)*[ 64 ]*dθ = 32*-π/2∫π/2 sen(2*θ)*dθ,
integras para la segunda variable (θ, y observa que indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:
I = 32*[ -(1/2)*cos(2*θ) ] = 32*[ -(1/2)*cos(π) - ( -(1/2)*cos(-π) ) ] = 32*[ 1/2 - 1/2 ] = 32*0 = 0.
Espero haberte ayudado.