Puedes coger como vector director de la recta el (2,-1,0), sí! Y como punto el (1,4,-3) perfecto!

Entonces la ecuación paramétrica de esta recta es:

x = 1 + 2t

y = 4 - t

z = -3

Saludos.

Wiiiiiiiii que felicidad

Vamos con una orientación.

Planteas las expresiones de los puntos:

P(x,1/x) (punto genérico perteneciente a la gráfica de la función),

O(0,0) (origen de coordenadas);

luego, planteas la expresión de la distancia entre los dos puntos, y queda:

D(x) = √( (x - 0)² + (1/x - 0)² ), cancelas términos nulos en el argumento de la raíz cuadrada, resuelves potencias, y queda:

D(x) = √(x² + 1/x²) (1) (observa que 0 no pertenece al dominio de esta función),

que es la expresión de la distancia en función de la abscisa del punto genérico perteneciente a la gráfica de la función.

Luego, planteas la expresión de la función derivada, y queda (observa que debes aplicar la Regla de la Cadena, y que presentamos su mínima expresión):

D ' (x) = (x - 1/x³)/√(x² + 1/x²) (2).

Luego, planteas la condición de valor estacionario (posible máximo o posible mínimo), y queda:

D ' (x) = 0, sustituyes la expresión señalada (2) en el primer miembro, y queda:

(x - 1/x³)/√(x² + 1/x²) = 0, multiplicas por √(x² + 1/x²) en ambos miembros, y queda:

x - 1/x³ = 0, multiplicas por x³ en todos los términos de esta ecuación, y queda:

x⁴ - 1 = 0, sumas 1 en ambos miembros, y queda:

x⁴ = 1, extraes raíz cuarta en ambos miembros, y tienes dos opciones:

a)

x = -1, a la que corresponde el punto: A(-1,-1), cuya distancia al origen es: D(-1) = √(2);

b)

x = 1, a la que corresponde el punto: B(1,1), cuya distancia al origen es: D(1) = √(2).

Luego, puedes plantear la expresión de la función derivada segunda de la función distancia (te dejo la tarea de derivar la expresión señalada (2) que tienes indicada), y podrás verificar que la función derivada segunda toma valores positivos para los dos valores estacionarios que hemos remarcado, por lo que tienes que la gráfica de la función distancia es cóncava hacia arriba para ambos valores estacionaros, por lo que éstos corresponden a puntos que se encentran a mínima distancia del origen de coordenadas.

Espero haberte ayudado.

A)

Bolsa inicial: 2 bolas negras, 1 bola blanca.

Primera tirada: Antía. La probabilidad de que gane es de 1/3 y la probabilidad de que no gane es de 2/3. Si gana, el juego se termina aquí.

Segunda tirada: Lola. La probabilidad de que gane es de (2/3) · (1/2) = 1/3. La probabilidad de que no gane es de 1/3 también si llegamos a aquí.

Tercera tirada: María. La probabilidad de que gane es de (2/3)·(1/2)·1 = 1/3. La probabilidad de que no gane es de 0 si llegamos a aquí.

Cada una tiene la misma probabilidad de ganar: 1/3.

B)

Bolsa inicial: 2 bolas negras, 2 bola blanca.

Primera tirada: Antía. La probabilidad de que gane es de 2/4 = 1/2 y la probabilidad de que no gane es de 1/2. Si gana, el juego se termina aquí.

Segunda tirada: Lola. La probabilidad de que gane es de (1/2) · (2/3) = 1/3. La probabilidad de que no gane es de (1/2) · (1/3) = 1/6  si llegamos a aquí.

Tercera tirada: María. La probabilidad de que gane es de (1/2)·(1/6)·1 = 1/12. La probabilidad de que no gane es de 0 si llegamos a aquí.

Antía tiene una probabilidad de 1/2, Lola de 1/3 y María de 1/12.

Saludos.

Recuerda que la densidad es masa partido por volumen:

ρ = m/V

Entonces, en el primer caso tienes que la densidad del metal es de:
ρ = m/V = (6472 g) / (400 cm³) = 16,18 g/cm³.

En el segundo caso, tienes que la densidad del metal es:
ρ = m/V = (8674 g) / (500 cm³) = 17,348 g/cm³.

Te faltaban las unidades solo, lo otro lo tenías bien.

Saludos.

Muchas gracias porenseñarme Guillem De La Calle Vicente. que tengas un buen Viernes.

la recta la tienes dada como intersección de dos planos

Hay varias formas de hacerlo, siguiendo tu idea

en primer lugar hallo el vector director de la recta, multiplicando vectorialmente los vectores normales de los dos planos que la definen, daría (1,-3,1) x (1,-1,a) = (1-3a,1-a,2)

en segundo lugar obligo a que el vector director de la recta sea perpendicular al normal del plano, para ello, el producto escalar de ambos vectores debe ser nulo, es decir, (1-3a,1-a,2) · (1,-2,0) = -a-1 = 0

siendo la solución a=-1

teoría

Sea M es la matriz de coeficientes y M* la mariz ampliada

Det(M)=5a-35

a) si a≠7 entonces rango(M)=rango(M*)=3 por lo que los tres planos se cortan en un punto (independientemente de lo que valga b

b) si a=7 y b≠3 entonces rango(M)=2≠3=rango(M*) por lo que los tres planos se cortan en una recta (o pasan por una recta en común)

c) si a=7 y b=3 entonces rango(M)=2=rango(M*) por lo que los tres planos se cortan dos a dos en una recta (o sea se cortasen tres rectas paralelas distintas)

Antonio, el apartado b) y c) los tienes girados. Fijate que si el rango es distinto, el sistema es incompatible y por tanto no pueden pasar por una recta en común...

Saludos.

Gracias Guillem

Mejor, pon foto