Que un número sea un cuadrado perfecto significa que se puede expresar como el producto de un número por sí mismo. Por ejemplo,
1 = 1 · 1 = 1^2, 4 = 2 · 2 = 2^2, 9 = 3 · 3 = 3^2
de donde vemos que 1, 2 y 9 son los primeros cuadrados perfectos.
Que un número sea un cubo perfecto significa que se puede expresar como el producto de un número por sí mismo tres veces. Por ejemplo,
1 = 1 · 1 · 1 = 1^3, 8 = 2 · 2 · 2 = 2^3, 27 = 3 · 3 · 3= 3^3
de donde vemos que 1, 8 y 27 son los primeros cubos perfectos.
Necesitamos encontrar los tres primeros números tales que sean cuadrados y cubos perfectos. Esto implica que una descomposición del número se puede escribir como 2 y como 3 a la vez porque debe ser cuadrado y cubo perfecto. Los mínimos enteros que cumplen esto son los que estan elevados al mínimo común múltiplo de 2 y 3, que es 6; y por lo tanto, los tres primeros cuadrados y cubos perfectos a la vez son:
1^6 = 1
2^6 = 64
3^6 = 729
Saludos.