Va Genesis 

Opción a

Partimos de la ecuación: (m - 2i)(n - 5i) = - 20, distribuimos y queda:

mn - 5mi - 2ni + 10i^2 = - 20, resolvemos el cuarto término de la izquierda, hacemos pasaje de término y queda:

mn - 5mi - 2ni - 10 + 20 = 0, reducimos términos semejantes, agrupamos términos reales e imaginarios y queda:

(mn + 10) + (- 5m - 2n)i = 0 + 0i, luego, por igualdad entre números complejos, tenemos dos ecuaciones:

mn + 10 = 0

- 5m - 2n = 0, despejamos y tenemos: n = - 5m/2 (*), sustituimos en la primera ecuación y queda:

m(-5m/2) + 10 = 0, resolvemos el primer término de la izquierda, hacemos pasaje de término y queda:

(- 5/2)m^2 = - 10, hacemos pasaje de factor como divisor, resolvemos a la derecha y queda:

m^2 = 4, de donde tienes: 

m1 = 2

m2 = - 2

luego reemplazamos en la ecuación señalada (*) y queda:

n1 = - 5

n2 = 5,

por lo que tenemos dos soluciones para la ecuación:

S1: m = 2, n = - 5,

S2: m = -2, n = 5.

Puedes verificar que las dos soluciones son válidas.

Espero haberte ayudado.

Has resuelto bien para las funciones f(x) y h(x), pero debes corregir para la función g(x), observa que puedes aplicar propiedades de las potencias con exponente negativo, y propiedad del logaritmo de una potencia:

g(-x) = ln( (1+x)/(1-x) ) = ln( ( (1-x)/(1+x) )^(-1) ) = - 1*ln( (1-x)/(1+x) ) = - g(x), por lo que resulta que la función g es impar.

Espero haberte ayudado.

Ok.

Observa que si igualas partes reales queda: a + 1 = 2, de donde tienes: a = 1, y si igualas partes imaginarias queda: b + c = 3, de donde puedes despejar: c = 3 - b (*).

Luego, como tenemos que c = 1, los complejos quedan:

z1 = 1 + bi

z2 = 1 + ci

Luego planteamos el cociente:

z1/z2 = (1 + bi)/(1 + ci) = debes hacer el desarrollo = ( (1 + bc) + (b - c)i )/(1 + c^2),

luego, como debe ser imaginario puro, planteamos:

1 + bc = 0, luego sustituimos a partir de la ecuación señalada (*) y queda:

1 + b(3 - b) = 0, distribuimos y queda:

1 + 3b - b^2 = 0, multiplicamos por -1 en todos los términos, ordenamos términos y queda:

b^2 - 3b - 1 = 0, que es una ecuación polinómica cuadrática, aplicas la fórmula resolvente y quedan las soluciones:

b1 = 3/2 + V(13)/2, que al reemplazar en la ecuación señalada (*) nos conduce a : c1 = 3/2 - V(13)/2

b2 = 3/2 - V(13)/2, que al reemplazar en la ecuación señalada (*) nos conduce a c2 = 3/2 + V(13)/2.

Espero haberte ayudado.

Comencemos con la expresión w:

w = (x - i)*( (x + 3) - 4i ) = distribuimos = x(x + 3) - 4ix - (x + 3)i + 4i^2 = x(x + 3) - 4ix - (x + 3)i - 4, luego agrupamos términos y queda:

w = ( x(x + 3) - 4 ) + ( -4x - (x + 3) )i

Luego planteamos que la parte real de w sea igual a cero, y nos queda la ecuación:

x(x + 3) - 4 = 0, distribuimos y queda:

x^2 + 3x - 4 = 0, que es una ecuación polinómica cuadrática, aplicas la fórmula resolvente y quedan las soluciones:

x1 = 1, que nos conduce a: w1 = 0 - 8i = - 8i

x2 = - 4, que nos conduce a: w2 = 0 + 17i = 17i.

Espero haberte ayudado.

Gracias

Lo hacemos, Mariam:

Te equivocaste en la 4ta línea al multiplicar por 2 en la segunda expresión.

Comencemos con el numerador (observa que está representado por un punto ubicado en el cuarto cuadrante):

módulo: V(5^2 + (-V(75))^2 = V(25 + 75) = V(100) = 10,

tangente de su argumento: tanA = -V(75)/5 = - V(25*5)/5 = - V(25)*V(5)/5 = - 5*V(5)/5 = - V(5), luego:

su argumento: A = arctan(-V(5)) = - 65,9° + 360° = 294,1° (aproximadamente).

Luego, calculamos la quinta potencia del numerador:

N^5 = ( (10)(294,1°) )^5 = aplicamos la fórmula de De Moivre = (10^5)(5*294,1°) = (100000)(1470,5°) = (100000)(4*360° + 30,5°) = (100000)(30,5°)

Luego dividimos por el denominador (que es un número real) y queda:

z = (100000)(30,5°) / 3125 = (100000/3125)(30,5°) = (32)(30,5°) expresado en forma polar.

Espero haberte ayudado.

Debes demostrar por Inducción Completa.

Observa la primera desigualdad:

3! > 2^2, haces pasajes de factores como divisores y queda: 1 / 2^2 > 1/3!, que puede escribirse: 1 / 2^(3-1) > 1/3!,

con lo que tenemos que la proposición es verdadera para n = 3 (observa que para n = 2 no se verifica la desigualdad);

Hipótesis Inductiva: 1/2^(h-1) > 1/h!, para todo h > 2, h perteneciente al conjunto de los números naturales;

Tesis Inductiva: 1/2^h > 1/(h+1)!

Demostración (observa que se cumple que: (h+1) > 2, y luego: 1/2 > 1/(h+1), para todo h >2, con h perteneciente al conjunto de los números naturales):

1/2^h = 1/2 * 1/2^(h-1) > aplicamos la Hipótesis Inductiva > 1/2 * 1/h! > 1/(h+1) * 1/h! = 1 / ( (h+1)*h! ) = 1/(h+1)!

Espero haberte ayudado.

Comencemos por mostrar la expresión en forma binómica (recuerda que 1/z = (x - yi)/|z|^2).

f(z) = x + yi + (x - yi)/|z|^2) = x + yi + x/(|z|^2) - yi/(|z|)^2, luego agrupamos términos y queda:

f(z) = ( x + x/(|z|^2)) + ( y - y/(|z|^2) )i, luego las funciones expresadas en forma binómica quedan expresadas:

u(x,y) = x + x/(|z|^2

v(x,y) = y - y/(|z|^2)

luego sustituimos las variables cartesianas por las polares (recuerda: x = Rcost, y = Rsent, escribimos R =|z|, y escribimos theta como t), y las exresiones quedan:

u(R,t) = Rcost + Rcost/R^2 = Rcost + cost/R = (1/R)(R^2 + 1)cost

v(R,t) = Rsent - Rsent/R^2 = Rsent - sent/R = (1/R)(R^2 - 1)sent

Espero haberte ayudado.