Comencemos por buscar el punto de intersección entre las rectas cuyas ecuaciones nos dan, para ello planteamos el sistema de ecuaciones:
3x - 4y + 6 = 0
x - 5 = 0, de la que despejamos y tenemos que: x = 5,
luego sustituimos en la primera ecuación y queda:
3*5 - 4y + 6 = 0,
luego resolvemos términos numéricos y queda:
- 4y + 21 = 0, de la que despejamos y tenemos que: y = 21/4,
por lo tanto tenemos que el punto de intersección entre las rectas es: A(5,21/4).
Luego, reemplazamos las coordenadas del punto de intersección en la ecuación de la recta que debe pertenecer a la familia:
21/4 = 3* 5 + k, de la que al resolver y despejar obtenemos que: -39/4 = k.
Luego concluimos:
La recta dada pertenece a la familia si k = -39/4, y no pertenecerá a la familia si k es distinto de -39/4.
Espero haberte ayudado.

La resolvemos Anade:

gracias pero no entiendo el 3er paso, de donde sale el 2 del numerador...

Efectúa el cociente de Polinomios y verás :-)

Trabajemos un poco la expresión:
comencemos con el numerador: N = u^2 + 1 = (u^2 - 1) + 2 = (u - 1)(u+ 1) + 2 = - (-u + 1)(u + 1) + 2 = - (1 - u)(u + 1) + 2,
luego, la expresión de la función a integrar:
observa que podemos distribuir el denominador, y simplificar en el primer término:
(u^2 + 1)/(1 -u) = ( - (1 - u)(u + 1) + 2 )/(1 - u) = - (1 - u)(1 + u)/(1 - u) + 2/(1 - u) = - (1 + u) + 2/(1 - u) = -1 - u - 2/(u - 1).
Luego observa que ya puedes integrar en forma directa y queda:
I = - u - u^2 / 2 - 2ln|u - 1| + C.
Observa que si tienes una función a integrar, cuya expresión es cociente entre polinomios como en este caso, puedes también efectuar la división entre numerador y denominador, y llegarás al mismo resultado.
Espero haberte ayudado.

No. No tiene nada que ver con el eje con el que rotas sino con el tipo de plano que debes rotar...

∂L/∂x= ( -2x/(x²+75)²) - λ2x+λy

∂L/∂y= (2y/(x²+75)) + λx

∂L/∂λ= -x²+xy+15

Observa que un camión puede cargar contenedores, con peso total de doce toneladas, por lo que tienes la restricción:
x + y = 12, de la que puedes despejar: y = 12 - x (*),
luego reemplazas en la expresión de la función y queda reducida a una sola variable:
Ct(x) = x - 3(12 - x) - x(12 - x)
luego desarrollamos, reducimos términos, ordenamos términos y queda:
Ct(x) = x^2 - 8x - 36
cuyas derivadas primera y segunda son:
Ct ' (x) = 2x - 8, igualas a cero, despejas y llegas a: x = 4, luego reemplazas en la ecuación señalada (*) y tienes: y = 8.
Ct '' (x) = 2 > 0 (observa que la gráfica de la función es siempre cóncava hacia arriba, por lo que la gráfica presenta un mínimo para x = 4).
Por lo tanto, los valores que minimizan la función son: x = 4 e y = 8.
Espero haberte ayudado.

Revisa tus operaciones D=(4,-3,0) y el plano x+y=1

Las soluciones son correctas, en cuanto a la simplificación lo puedes dejar así o sacar común denominador.

Observa que debes tratar con una función en tres trozos, en la que cada uno de ellos es continuo en sus subintervalo, quedándote para estudiar dos puntos notables: x1 = -1 y x2 = 1.
Comencemos con estudiar la continuidad de la función:
a) En x1 = -1:
1°) f(-1) = -2 + a -1 = a - 3 (observa que -1 pertenece al primer subintervalo),
2°)
Límite de la función tendiendo a -1 por la izquierda (observa que corresponde la expresión del primer trozo) es igual a a - 2 (observa que es un límite directo),
límite de la función tendiendo a -1 por la derecha (observa que corresponde la expresión del segundo trozo) es igual a -a/2,
luego igualamos los límites laterales que hemos planteado, y queda:
a - 3 = - a/2, resolvemos y llegamos a:
a = 2,
3°) f es continua en x1 = -1 con a = 2.
b) En x2 =1:
1°) f() = 2 / (2*1)= 1 (observa que -1 pertenece al segundo subintervalo),
2°)
Límite de la función tendiendo a 1 por la izquierda (observa que corresponde la expresión del segundo trozo) es igual a a 1 (observa que es un límite directo),
límite de la función tendiendo a 1 por la derecha (observa que corresponde la expresión del tercer trozo) es igual 1 + 2b,
luego igualamos los límites laterales que hemos planteado, y queda:
1 + 2b = 1, resolvemos y llegamos a:
b = 0,
3°) f es continua en x2 = 1 con a = 2 y b = 0.
Por lo tanto, la expresión de la función continua f queda:
2x^3 + 2x^2 - 1 x <=-1
f(x) = 1/x -1< x <= 1
e^(x -1) x > 1.
Recurerda dos teoremas que has visto en clase:
T1 : "si f es derivable en un punto, entonces es continua en dicho punto"
y su teorema contrarrecíproco:
T2: "si f no es continua en un punto, entonces no es derivable en dicho punto".
Para este tipo de ejercicio, donde piden estudiar derivabilidad en puntos de "pegado" entre dos trozos de la función, debemos tener continuidad en dichos puntos, a fin de no caer en la hipótesis del segundo teorema (observa que si nos hubiese quedado discontinuidad, que no es este caso, hubiésemos concluido de inmediato que la función no es derivable en los puntos de "pegado" entre trozos).
Luego, para derivar, tenemos:
6x^2 + 2x x < -1
f ' (x) = -1 / x^2 -1 < x < 1
e^(x - 1) x > 1
(con respecto a la derivada de la expresión del segundo trozo: a/(2x) = (a/2)*(1/x) = (a/2)*x^(-1), y su derivada queda: (a/2)*(-1)*x^(-2) =(-a/2)*(1 / x^2) = -a / (2 * x^2)).
Observa que los puntos de pegado deben ser estudiados con más cuidado:
en este caso, como las expresiones de los tres trozos corresponden a funciones derivables, podemos plantear límites laterales:
a) para x1 = -1:
el límite de la función derivada para x tendiendo a -1 por la izquierda (observa que corresponde el primer trozo) es directo e igual a 4,
el límite de la función derivada para x tendiendo a -1 por la derecha (observa que corresponde el segundo trozo) es directo e igual a -1,
luego, como los límites laterales de la función derivada no coinciden, concluimos que la función no es derivable en x1 = -1;
b) para x2 =1:
el límite de la función derivada para x tendiendo a 1 por la izquierda (observa que corresponde el segundo trozo) es directo e igual a -1,
el límite de la función derivada para x tendiendo a 1 por la derecha (observa que corresponde el tercer trozo) es directo e igual a 1,
luego, como los límites laterales de la función derivada no coinciden, concluimos que la función no es derivable en x2 = 1.
Por lo tanto, concluimos que la función es derivable en el conjunto R - {-1,1}.
Espero haberte ayudado.

Para estudiar la continuidad tienes que utilizar los limites laterales, en cuanto a la derivabilidad debes ver para que valores de a y b es derivable por lo que no puedes quitar las letras.

En cuanto la derivada de a/2x es -2a/ (2x)²

Me encantaría ayudarte, pero no respondo dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los videos que ya he grabado como excepcion. Lo siento de corazón… Espero lo entiendas