¿algun ejemplo o enunciado concreto?

e^(-u)=A
Aplicamos a los dos miembros logaritmos neperianos (de base e):
ln e^(-u)=lnA
(-u)·ln e= ln A
Como ln e=1, queda:
(-u)·1=ln A
-u=ln A
u=-ln A
Que es lo que da.

Debes plantear la combinación lineal nula:
Au + Bv + Cw = o, con A, B y C iguales a cero, y o vector nulo.
Reemplazamos y queda:
A<1,0,1> + B<1,1,1> + C<1,3,a> = <0,0,0>
resolvemos a la izquierda y queda:
= < 0 , 0 , 0 >
luego, por igualdad entre vectores, igualamos componente a componente y nos queda el sistema de ecuaciones:
A + B + C = 0
B + 3C = 0, hacemos pasaje de término y queda: B = -3C (*)
A + B * Ca = 0
luego, sustituimos la expresión que obtuvimos a partir de la segunda ecuación en las otras dos y queda el sistema:
A - 3C + C = 0, hacemos pasaje de términos, reducimos términos y queda: A = 2C (**)
A - 3C + Ca = 0
luego, sustituimos la expresión que obtuvimos a partir de la primera ecuación en la segunda y nos queda la ecuación:
2C - 3C + Ca = 0
extraemos factor común C a la izquierda y queda.
C(-1 + a) = 0
y como debemos obtener independencia lineal en el enunciado, debemos poder despejar C, lo hacemos y queda:
C = 0 / (-1 + a) = 0 (observa que si reemplazas en las ecuaciones señaladas (*) y (**) obtienes B = 0 y C = 0)
pero para que ésto sea posible, se debe cumplir la condición:
-1 + a distinto de cero, que al despejar nos queda:
a distinto de 1.
Espero haberte ayudado.

Me encantaría ayudarte, pero no respondo dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los videos que ya he grabado como excepcion. Lo siento de corazón… Espero lo entiendas

Lo correcto es:
e^(-u) = ln(x) + C

por que, me lo explicas por favor

El resultado es correcto, y lo puedes verificar, derivando la expresión que obtuviste al integrar con respecto a u:
( - e^(-u) ) ' = - e^(-u) * (-1) = e^(-u).
Recuerda:
Integral e^x * dx = e^x + C
Integral e^(-x) * dx = - e^(-x) + C.
Espero haberte ayudado.

Partamos de la expresión de la función, a la que aplicamos propiedad del logaritmo de una raíz cuadrada:
y = (1/2) * ln(4x^3 - 9)
luego derivamos, aplicando la regla de la cadena, ya que estamos tratando con una función compuesta:
y ´ = (1/2) * ( 1 / (4x^3 - 9) ) * 12x^2 = 6x^2 / (4x^3 - 9).
Espero haberte ayudado.

Ten en cuenta que la solución general de una ecuación diferencial de primer orden siempre lleva una constante de integración, por lo que correspondería expresarla como C, donde C es un número real.
Espero haberte ayudado.

En el primer ejercicio, puedes aplicar propiedad del logaritmo de una raíz cuadrada, y la expresión queda expresada en la forma:
y = (1/2) * ln (A/B)
donde A es el numerador, y B es el denominador (observa que A y B son funciones),
luego puedes aplicar propiedad del logaritmo de una división de funciones, y queda:
y = (1/2) * ( lnA - lnB ) = (1/2) * lnA - (1/2) * lnB
ahora si, pasamos a derivar término a término, y queda:
y ' = (1/2) * (1/A) * A ' - (1/2) * (1/B) * B ' (***).
Ahora, teniendo en cuenta las designaciones que hemos hecho, tenemos que:
A = e^(2x) + e^(-2x), cuya derivada queda expresada: A ' = 2e^(2x) - 2e^(-2x).
B = e^(2x) - e^(-2x), cuya derivada queda expresada: B ' = 2e^(2x) + 2e^(-2x).
Por último, debes sustituir en la expresión señalada (***), y operar para simplificar.
En el segundo ejercicio, observa que la expresión de la función es de la forma:
y = arcsenA, donde A es una función,
por lo tanto, su derivada quedará expresada como:
y ' = ( 1 / V( 1 - A^2 ) ) * A ' (***).
Luego, tenemos la expresión A, que es un cociente entre dos expresiones polinómicas:
A = ( x - 1 ) / ( x+ 3 )
derivamos según la regla del cociente y tenemos que:
A ' = ( 1(x + 3) - (x - 1)1 ) / (x + 3)^2 = 4 / (x + 3)^2.
Por último, debes sustituir en la expresión señalada (***).
Espero haberte ayudado.

Hola Miriam
Esta es la solución.
[log_{2}[e^x+2]]'=[log_{e}[e^x+2]/log_{e}[2]]'=1/log_{e}[2]*[log_{e}[e^x+2]]'=1/log_{e}[2]*[1/[e^x+2]*[e^x+2]'=1/log_{e}[2]*[1/[e^x+2]*e^x=[e^x]/[log_{e}[2]*[e^x+2]]
En el segundo paso reescribo el logaritmo con una base e para hacer uso de su derivada. En el tercer paso, saco fuera de la derivada la constante que multiplica, en este caso, (1/log_{e}[2]). En el cuarto paso aplico la derivada del log de base e. En la quinta derivo lo que estaba dentro del log y para finalizar solo lo reescribo para que quede bien. Espero que te sirva. Saludos.

Si llamamos c1 y c2 a los catetos tenemos:
c1*c2/2=10 → c2=20/c1
c1^2+c2^2=9^2=81 → c1^2+(20/c1)^2=c1^2+400/c1^2=81
Supongamos x=c1^2, entonces
x+400/x=81 → (x^2+400)/x=81 → x^2+400=81x → x^2-81x+400=0. Aqui debes hallar las raices. luego, para encontrar c1 debes tener en cuenta que x=c1^2 → sqrt(x)=c1. Luego, para hallar c2 deber reemplazar cada valor de c1 en c2=20/c1 .
Espero que te sirva. Saludos.