Foro de preguntas y respuestas de Matemáticas

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    Zanubia Nufuri
    el 17/12/18

    Hola de nuevo!! Como se deriva por definición log en base2 de x?

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    Antonio Benito García
    el 17/12/18


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    Zanubia Nufuri
    el 17/12/18

    necesito ayuda con el siguiente ejercicio. Se que para que se cumpla, debo hacer b^2-4ac=0 pero no logro obtener el resultado.  Gracias 



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    Antonio Benito García
    el 17/12/18


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    Rafa Jiménez
    el 16/12/18


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    Antonio Silvio Palmitano
    el 17/12/18

    Tienes la expresión de la cantidad de artículos producidos por hora en función de la cantidad de trabajadores:

    P(x) = 38x - x2 - 36 (1),

    cuyo dominio es el conjunto de los números naturales no nulos.

    Luego, tienes la cantidad de artículos a producir en este único pedido: 72000.

    Tienes planteada la expresión de la cantidad de horas de trabajo necesarias: H(x).

    (a)

    Tienes el monto de costo fijo: F = 5000 euros (2).

    (b)

    Tienes el gasto promedio de materia prima por artículo: 1 euro, por lo que el gasto para todo el periodo queda:

    M = 1*72000 = 72000 euros (3).

    (c)

    Tienes el salario por hora de cada trabajador: 10 euros, por lo que el gasto total en salarios queda:

    S(x) = 10x*H(x) (4).

    (i)

    Puedes plantear para la cantidad de artículos que se deben producir:

    P(x)*H(x) = 72000,

    divides por P(x) en ambos miembros, y queda:

    H(x) = 72000/P(x),

    sustituyes la expresión señalada (1), y queda:

    H(x) = 72000/(38x - x2 - 36) (5).

    (ii)

    Puedes plantear que el costo de producción del pedido es la suma de los gastos, y queda:

    C(x) = F + M + S(x),

    sustituyes expresiones señaladas (2) (3) (4), y queda:

    C(x) = 5000 + 72000 + 10x*H(x),

    reduces términos numéricos, sustituyes la expresión señalada (5) y resuelves el último término, y queda:

    C(x) = 77000 + 720000x/(38x - x2 - 36) (6).

    (iii)

    Derivas la expresión remarcada y señalada (6), y queda:

    C ' (x) = ( 720000*(38x - x2 - 36) - 720000x*(38 - 2x) )/(38x - x2 - 36)2 (7),

    planteas la condición de punto estacionario (posible máximo o posible mínimo, y queda:

    C ' (x) = 0,

    sustituyes la expresión señalada (7), y queda:

    ( 720000*(38x - x2 - 36) - 720000x*(38 - 2x) )/(38x - x2 - 36)2 = 0,

    multiplicas en ambos miembros por (38x - x2 - 36)2, y queda:

    720000*(38x - x2 - 36) - 720000x*(38 - 2x) = 0,

    divides por 720000 en todos los términos de la ecuación, y queda:

    38x - x2 - 36 - x*(38 - 2x) = 0,

    distribuyes el agrupamiento, y queda:

    38x - x2 - 36 - 38x + 2x2 = 0,

    reduces términos semejantes (observa que tienes cancelaciones), ordenas términos, y queda:

    x2 - 36 = 0,

    sumas 36 en ambos miembros de la ecuación, y queda

    x2 = 36,

    extraes raíz cuadrada en ambos miembros (observa que elegimos la raíz positiva), y queda:

    x = 6 trabajadores;

    luego, reemplazas este último valor remarcado en las expresiones señalada (6) (5), y queda:

    C(6) = 77000 + 720000*6/(38*6 - 62 - 36),

    resuelves, y queda:

    C(6) 104692,31 euros,

    que es el valor del costo mínimo de producción;

    H(6) = 72000/(38*6 - 62 - 36),

    resuelves, y queda:

    H(6) ≅ 461,54 horas.

    (iv)

    Derivas la expresión remarcada y señalada (5), y queda:

    H ' (x) = -72000*(38 - 2x)/(38x - x2 - 36)2 (8),

    planteas la condición de punto estacionario (posible máximo o posible mínimo, y queda:

    H ' (x) = 0,

    sustituyes la expresión señalada (8), y queda:

    -72000*(38 - 2x)/(38x - x2 - 36)2 = 0,

    multiplicas en ambos miembros por (38x - x2 - 36)2, y queda:

    -72000*(38 - 2x) = 0,

    divides por -72000 en todos los términos de la ecuación, y queda:

    38 - 2x = 0,

    restas 38 en ambos miembros de la ecuación, y queda

    -2x = -38,

    divides por -2 en ambos miembros, y queda:

    x = 19 trabajadores;

    luego, reemplazas este último valor remarcado en las expresiones señalada (6) (5), y queda:

    C(19) = 77000 + 720000*19/(38*19 - 192 - 36),

    resuelves, y queda:

    C(19)  119092,31 euros,

    que es el valor del costo de producción con el tiempo mínimo;

    H(19) = 72000/(38*19 - 192 - 36),

    resuelves, y queda:

    H(19) ≅ 221,54 horas,

    que es el valor del tiempo mínimo de producción.

    Espero haberte ayudado.

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    Shei
    el 16/12/18

    ¿Cómo se resuelve?

    x2 -2x+4/x-4 -x ≥ 0

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    Antonio Silvio Palmitano
    el 16/12/18

    Por favor sube una foto con el enunciado para que podamos ayudarte.

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    Shei
    el 17/12/18

    Estos 3

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    Antonio Silvio Palmitano
    el 17/12/18

    c)

    Tienes la ecuación:

    √(2x+8) - √(x) = 2, sumas √(x) en ambos miembros, y queda:

    √(2x+8) = √(x) + 2, elevas al cuadrado en ambos miembros, y queda:

    √(2x+8) )2 = ( √(x) + 2 )2, simplificas el primer miembro, desarrollas el segundo miembro, y queda:

    2x + 8 = x + 4√(x) + 4, restas x y restas 4 en ambos miembros, y queda:

    x + 4 = 4√(x), elevas al cuadrado en ambos miembros, y queda:

    x + 4 )2 = ( 4√(x) )2, desarrollas el primer miembro, resuelves el segundo miembro, y queda:

    x2 + 8x + 16 = 16x, restas 16x en ambos miembros, y queda:

    x2 - 8x + 16 = 0, factorizas el trinomio cuadrado perfecto en el primer miembro, y queda:

    (x - 4)2 = 0, extraes raíz cuadrada en ambos miembros, y queda:

    x - 4 = 0, sumas 4 en ambos miembros, y queda:

    x = 4,

    y puedes verificar que la solución remarcada es válida si reemplazas y resuelves en la ecuación de tu enunciado.

    Espero haberte ayudado.



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    Antonio Silvio Palmitano
    el 17/12/18

    e)

    Tienes la ecuación:

    92x -3*9x + 2 = 0;

    luego, puedes plantear la sustitución (cambio de incógnita):

    9x = w (1) (observa que w toma valores positivos),

    de donde tienes:

    92x = (9x)2 = 92x = w2;

    luego, sustituyes las expresiones remarcadas en la ecuación, y queda:

    w2 - 3*w + 2 = 0,

    que es una ecuación polinómica cuadrática, cuyas solucione son:

    1)

    w = 1, que al reemplazar en la ecuación señalada (1), queda:

    9x = 1, expresas el segundo miembro como una potencia con base 9, y queda:

    9x = 90, por igualdad entre potencias con bases iguales, queda:

    x = 0;

    2)

    w = 2, que al reemplazar en la ecuación señalada (1), queda:

    9x = 2, extraes logaritmos (elegimos los logaritmos naturales) en ambos miembros, y queda:

    ln(9x) = ln(2), aplicas la propiedad del logaritmo de una potencia, y queda:

    x*ln(9) = ln(2), divides por ln(9) en ambos miembros, y queda:

    x = ln(2)/ln(9).

    Espero haberte ayudado.

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    Antonio Silvio Palmitano
    el 17/12/18

    d)

    Tienes la inecuación:

    (x2 - 2x + 4)/(x - 4) - x ≥ 0, sumas x en ambos miembros, y queda:

    (x2 - 2x + 4)/(x - 4) ≥ x;

    luego, tienes dos opciones, según sea el signo de la expresión del denominador del primer miembro:

    1)

    Si x - 4 > 0, que corresponde a: x > 4 (1),

    entonces multiplicas por (x - 4) en ambos miembros (observa que no cambia la desigualdad), y queda:

    x2 - 2x + 4 ≥ x*(x - 4), distribuyes el segundo miembro, y queda:

    x2 - 2x + 4 ≥ x2 - 4x, restas x2, sumas 4x y restas 4 en ambos miembros (observa que tienes cancelaciones), y queda:

    2x ≥ -4, divides por 2 en ambos miembros, y queda:

    x ≥ -2 (2);

    luego, teniendo en cuenta las condiciones expresadas en las inecuaciones señaladas (1) (2) (que deben verificarse en forma simultánea), tienes que para esta opción queda el subintervalo:

    I1 = (4,+∞);

    2)

    Si x - 4 < 0, que corresponde a: x < 4 (3),

    entonces multiplicas por (x - 4) en ambos miembros (observa que sí cambia la desigualdad), y queda:

    x2 - 2x + 4  x*(x - 4), distribuyes el segundo miembro, y queda:

    x2 - 2x + 4 x2 - 4x, restas x2, sumas 4x y restas 4 en ambos miembros (observa que tienes cancelaciones), y queda:

    2x  -4, divides por 2 en ambos miembros, y queda:

    x -2 (4);

    luego, teniendo en cuenta las condiciones expresadas en las inecuaciones señaladas (3) (4) (que deben verificarse en forma simultánea), tienes que para esta opción queda el subintervalo:

    I2 = (-∞,-2].

    Luego, planteas que el intervalo solución es la unión de los dos subintervalos remarcados, y queda:

    S = (-∞,-2] ∪ (4,+∞).

    Espero haberte ayudado.

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    Elena
    el 16/12/18

    Hola, alguien podría ayudarme con este ejercicio? Gracias

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    Antonio Silvio Palmitano
    el 16/12/18

    a)

    Observa que se cumplen las hipótesis de Teorema Fundamental del Cálculo Integral, por lo que aplicas el teorema, y la expresión de la función derivada queda:

    F ' (x) = f(x) + x2 + x3.

    b)

    Luego, tienes en tu enunciado que la abscisa del punto en estudio es:

    x0 = 1;

    luego, evalúas la expresión de la función F para este valor, y queda:

    F(1) = 01 ( f(t) + t2 + t3 )*dt,

    separas en términos, y queda:

    F(1) = 01 f(t)*dt + 01 t2*dt + 01 t3*dt,

    reemplazas el valor del primer término que tienes en tu enunciado, integras los dos últimos términos (observa que indicamos con corchetes de debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:

    F(1) = 1 + [t3/3] + [t4/4],

    evalúas los dos últimos términos, y queda:

    F(1) = 1 + 1/3 + 1/4,

    resuelves, y queda:

    F(1) = 19/12.

    Luego, evalúas la expresión de la función derivada señalada (1) para la abscisa del punto en estudio, y queda:

    F ' (1) = f(1) + 12 + 13

    reemplazas el valor del primer término que tienes en tu enunciado, resuelves los demás términos, y queda:

    F ' (1) = 1 + 1 + 1,

    resuelves, y queda:

    F ' (1) = 3.

    Luego, planteas la ecuación de la recta tangente en forma genérica, y queda:

    y = F ' (x0) * (x - x0) + F(x0),

    reemplazas el valor de la abscisa del punto en estudio, y queda:

    y = F ' (1) * (x - 1) + F(1),

    reemplazas los valores de la función derivada evaluada y del la función evaluada, y queda:

    y = 3*(x - 1) + 19/12;

    distribuyes el primer término, y queda:

    y = 3*x - 3 + 19/12,

    reduces términos numéricos, y queda:

    y = 3*x - 17/12,

    que es la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función F que piden en tu enunciado.

    Espero haberte ayudado.

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    Antonio Benito García
    el 17/12/18


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    inpernu
    el 16/12/18

    hola, gracias a ti apruebo, tus videos me ayudan un montón, muchas gracias!


    ¿podrías resolver este ejercicio? es sobre continuidad, pero al ser la función a trozos y encima racional, no sé qué puntos tengo que analizar

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    Antonio
    el 16/12/18


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    Antonio Benito García
    el 16/12/18


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    Antonio
    el 16/12/18

    b) La función es continua en todo su dominio.

    Donde podría tener problemas es en el 15 y en el 11:

    En t=15 es continua pues existe la imagen y coincide con los límites laterales

    En t=11 no se anula el denominador.

    c) Durante lo 10 primeros meses el precio aumenta para luego disminuir.

    El precio máximo se alcanza a los 10 meses con un importe de 100€ y el mínimo el día de su lanzamiento con 80€

    d) Nunca bajará de 87€

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    Isaac Gonzalez
    el 16/12/18

    Hola, he resuelto algunos problemas pero este problema se me resiste:  

    Finn deja caer una pelota desde una altura de 

    88 decímetros. Con cada rebote, la pelota se eleva a 2/3 de la altura del rebote anterior.Al tocar el suelo la 10^\text{a}decima
     vez, ¿cuál es la distancia total, en decímetros, que la pelota ha recorrido?

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    Antonio Benito García
    el 16/12/18

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    Antonio Silvio Palmitano
    el 16/12/18

    Puedes considerar la caída inicial, por lo que al tocar el suelo la primera vez ha recorrido:

    d0 = 88 (en dm).

    Luego, observa que de ahora en más la pelota "sube y vuelve a bajar" antes de volver a tocar el suelo.

    Luego, sube hasta 2/3 partes de altura anterior ( h = (2/3)*88 = (2/3)1*88 ) y luego vuelve a bajar, por lo que al tocar el suelo nuevamente ha agregado el recorrido:

    d1 = 2*(2/3)1*88 (en dm).

    Luego, sube hasta 2/3 partes de altura anterior ( h = (2/3)*(2/3)1*88 = (2/3)2*88 ) y luego vuelve a bajar, por lo que al tocar el suelo nuevamente ha agregado el recorrido:

    d2 = 2*(2/3)2*88 (en dm).

    Luego, sube hasta 2/3 partes de altura anterior ( h = (2/3)*(2/3)2*88 = (2/3)3*88 ) y luego vuelve a bajar, por lo que al tocar el suelo nuevamente ha agregado el recorrido:

    d3 = 2*(2/3)3*88 (en dm).

    Luego, sube hasta 2/3 partes de altura anterior ( h = (2/3)*(2/3)3*88 = (2/3)4*88 ) y luego vuelve a bajar, por lo que al tocar el suelo nuevamente ha agregado el recorrido:

    d4 = 2*(2/3)4*88 (en dm).

    Luego, puedes inferir que el recorrido agregado nuevamente en la "subida y bajada" número k es:

    dk = 2*(2/3)k*88 (en dm),

    y observa que la expresión remarcada es válida desde el agregado de recorrido número 1 en adelante.

    Luego, puedes plantear la expresión del recorrido total, con n "subidas y bajadas":

    d = d0 + d1 + d2 + d3 + d4 + .... + dn (observa que tienes n+1 términos, y que la pelota ha tocado el suelo n+1 veces),

    sustituyes expresiones, y queda:

    d = 88 + 2*(2/3)1*88 + 2*(2/3)2*88 + 2*(2/3)3*88 + 2*(2/3)4*88 + ... + 2*(2/3)n*88,

    extraes factores comunes entre todos los términos remarcados, y queda:

    d = 88 + 2*(2/3)1*88*( 1 + (2/3)1 + (2/3)2 + (2/3)3 + ... + (2/3)n-1 ),

    luego, observa que los términos remarcados del agrupamiento conforman una progresión geométrica cuyo primer elemento es 1 y cuya razón es 2/3 (observa que su valor absoluto es estrictamente menor que 1), por lo que sustituyes a todo el agrupamiento por la expresión de la suma geométrica, y queda:

    d = 88 + 2*(2/3)1*88*( ( 1-(2/3)n ) / (1-2/3) ), 

    resuelves el coeficiente en el último factor, y queda:

    d = 88 + 2*(2/3)1*88*( ( 1-(2/3)n ) * 3,

    extraes factor común (88), y queda:

    d = 88*( 1 + 2*(2/3)1*( ( 1-(2/3)n ) * 3 ),

    resuelves el coeficiente en el segundo término del agrupamiento, y queda:

    d = 88*( 1 + 4*( 1 - (2/3)n ) (en dm),

    y recuerda que la expresión remarcada es válida a partir de n = 1.

    Espero haberte ayudado.

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    Emilio
    el 16/12/18

    Podría alguien ayudarme y resolver este problema

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    Antonio Benito García
    el 16/12/18

    Éste es parecido:

    Resultado de imagen de estrategia de la tangente doble observacion

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    Emilio
    el 16/12/18

    Muchas gracias, mucho más claro

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    Juan de Alba Montero
    el 16/12/18

    Tengo una duda en las integrales con cambio de variable. ¿Cuándo se utiliza un cambio de variable por sen(t) en vez de cambiar todo por t directamente?


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    Francisco Javier Tinoco Tey
    el 16/12/18

    Tienes que recordar las identidades trigonométricas y a partir de ahí realizar el cambio de variable.

    Espero haberte ayudado, un saludo.

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    Sergio
    el 16/12/18

    Buenas tengo he intentado resolver esto pero no soy capaz, alguien que pueda ayudarme con el resultado

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    Antonio Benito García
    el 16/12/18


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    Sergio
    el 16/12/18

    Gracias

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