Tienes los puntos:
M(7,4) y N(-2,1);
luego, planteas la expresión de la distancia entre ellos, y queda:
|MN| = √( (-2-7)2+(1-4)2 ) = √( (-9)2+(-3)2 ) = √(81+9) = √(90) (1);
luego, planteas la expresión de la pendiente del segmento MN, y queda:
m = (1-4)/(-2-7) = -3/(-9) = 1/3 (2).
Luego, tienes en tu enunciado la relación entre las distancias determinadas por un punto genérico: P(x,y) perteneciente al segmento MN, y los puntos extremos del segmento:
|MP| = |PN|/2 (3);
luego, observa que puedes plantear la relación entre las distancias entre los tres puntos:
|MP| + |PN| = |MN|, aquí sustituyes la expresión señalada (3) y el valor señalado (1), y queda:
|PN|/2 + |PN| = √(90),
reduces términos semejantes en el primer miembro, extraes factores enteros de la raíz cuadrado, y queda:
3*|PN|/2 = 3*√(10), multiplicas por 2 y divides por 3 en ambos miembros, y queda:
|PN| = 2*√(10),
sustituyes la expresión de la distancia entre los puntos P y N, introduces el factor entero en la raíz, y queda:
√( (-2-x)2+(1-y)2 ) = √(40), elevas al cuadrado en ambos miembros, y queda:
(-2-x)2+(1-y)2 = 40 (4).
Luego, con las coordenadas del punto M y del punto P, planteas la expresión de la pendiente del segmento MP (observa que es igual a la pendiente del segmento MN), y queda:
(y-4)/(x-7) = m, reemplazas el valor señalado (2), multiplicas por (x-7) en ambos miembros, y queda:
y - 4 = (1/3)*(x - 7), distribuyes el segundo miembro, sumas 4 en ambos miembros, y queda:
y = (1/3)*x + 5/3 (5),
que es la ecuación cartesiana explícita de la recta que pasa por los puntos M, N y P.
Luego, sustituyes la expresión señaladas (5) en la ecuación señalada (4), y queda:
(-2 - x)2 + (1 - (1/3)*x - 5/3)2 = 40,
reduces términos numéricos en el argumento del segundo cuadrado, y queda:
(-2 - x)2 + (-(1/3)*x - 2/3)2 = 40,
desarrollas los binomios elevados al cuadrado, y queda:
4 + 4*x + x2 + (1/9)*x2 + (4/9)*x + 4/9 = 40,
multiplicas por 9 en todos los términos, y queda:
36 + 36*x + 9*x2 + x2 + 4*x + 4 = 360,
restas 360 en ambos miembros, reduces términos semejantes, ordenas términos, y queda:
10*x2 + 40*x - 320 = 0,
divides por 10 en todos los términos, y queda:
x2 + 4*x - 32 = 0,
que es una ecuación polinómica cuadrática, cuyas soluciones son:
1°)
x = ( -4-12)/2 = -16/2 = -8,
reemplazas este valor en la ecuación señalada (5), y queda:
y = (1/3)*(-8) + 5/3 = -8/3 + 5/3 = -1,
por lo que tienes el punto:
P1(-8,-1),
que puedes verificar que no pertenece al segmento MN (observa que su abscisa no es un valor intermedio entre las abscisas de los puntos M y N), por lo que no tiene sentido para este problema;
2°)
x = ( -4+12)/2 = 8/2 = 4,
reemplazas este valor en la ecuación señalada (5), y queda:
y = (1/3)*4 + 5/3 = 4/3 + 5/3 = 3,
por lo que tienes el punto:
P2(4,3),
que puedes verificar que si pertenece al segmento MN, y que también verifica la ecuación señalada (3).
Espero haberte ayudado.
