No es un logaritmo, es un arcotangente.

qué pasa con el 4, debe ser un 1¿no?

Para obtener la pendiente pedida solo hay que hallar f'(2)

y como f'(x)=3/(3x-2)

entonces:

f'(2)=3/(3·2-2)=3/4

Sabemos que la pendiente de la recta perpendicular a la que tiene como pendiente 3/4 es -4/3

veamos en qué punto se obtiene, para ello igualamos f'(x)=-4/3

3/(3x-2)=-4/3

resolviendo esta ecuación de primer grado obtenemos que x= -1/12

en principio la solución pedida sería el punto x=-1/12 a no ser porque este punto no pertenece

al dominio de la función f(x) ya que f(-1/12)=ln(3x-2)=ln[3(-1/12)-2]=ln[(-3/12)-2]=ln(-9/4) y de todos es sabido que el dominio de la función logaritmo es (0,+∞) no admitiendo valores negativos como sería el caso que nos ocupa

No se, creo que esta mal enunciado, no sabemos el tamaño de las baldosas , no sabemos donde está situado el estanque ni sus dimensiones.

O quizás falta una gráfico.

No sé si tendria que hacer supestos pues no me dice nada el enunciado. El profesor nos lo ha puesto así. Es verdad que no dice el tamaño de la baldosa por lo que creo que será cuadrada. Las dimensiones del estanque son de 2x4m

Gracias César

Hola, me da la impresión de que el tamaño de las baldosas no es relevante, simplemente que se dispone de 27 m² de baldosas.

Tal y como yo lo entiendo sería así:

Como dice el enunciado, la anchura es siempre igual, así que la denominamos "x". Si se desea rodear el estanque con una anchura siempre igual, basándonos en los lados del estanque (4 m y 2 m) y en el área que ocupará el paseo (27 m²), se puede plantear una ecuación de segundo grado que nos permitirá hallar el ancho del paseo. Me parece más práctico poner una imagen con la idea, así que aquí adjunto una al final a modo de boceto.

Para los tramos de paseo rectangulares que tienen como lados x (la anchura del paseo) y uno de los lados del estanque (4 o 2) se puede hallar el área aplicando la fórmula del área del rectángulo: 2 tramos serían 4 · x, y los otros dos serían 2 · x, por tanto, ya tenemos que la suma de esos lados sería: 2 · (4x) + 2 · (2x) = 12x.

Pero faltaría por completar el paseo con cuatro tramos cuadrados cuyo lado sería x, ya que si no tendríamos trozos sueltos sin conectar. Para estos cuatro cuadrados (las esquinas del paseo) se puede hallar el área mediante el área del cuadrado: x · x = x², y como son 4, pues tendríamos 4x².

Con todo esto, ya podríamos formular la ecuación final, ya que la suma de todas las áreas anteriores (12x + 4x²) tiene que ser 27 m². Ya se puede plantear la ecuación:

4x² + 12x = 27, se iguala a 0, 4x² + 12x -27 = 0, y se resuelve la ecuación de segundo grado que nos da como soluciones: x₁ = 3/2, x₂ = -9/2.

Evidentemente, una distancia no puede ser negativa, así que se toma el valor positivo y averiguamos que la anchura del pasillo será de 3/2 m = 1,5 m.

Espero que sea útil mi respuesta, un saludo.

Lo interpreto entonces así

Está correcto

Correcto 

Gracias César muy amable, podrías decirme si esta también es correcta o debo hacer el integral de cosecante?  

Si en una desigualdad pasamos multiplicando (o dividiendo) de un miembro a otro una cantidad NEGATIVA, la desigualdad cambia de orientación.

método de sustitución, el de igualación y el de gráfica

gracias