4)
Si aquí tienes las expresiones de los vectores:
b = < √(5) , -√(20) >,
c = < √(12) , √(3) >.
Luego, como tienes que el vector s es paralelo al vector b, entonces puedes plantear que el vector s es un múltiplo escalar del vector b, por lo que puedes plantear la ecuación:
s = k*b, sustituyes la expresión del vector b, y queda:
s = k*< √(5) , -√(20) >, efectúas el producto en el segundo miembro, y queda:
s = < √(5)*k , -√(20)*k > (1),
con k ∈ R y k ≠ 0.
Luego, como tienes que el vector t es paralelo al vector c, entonces puedes plantear que el vector t es un múltiplo escalar del vector c, por lo que puedes plantear la ecuación:
t = m*c, sustituyes la expresión del vector c, y queda:
t = m*< √(12) , -√(3) >, efectúas el producto en el segundo miembro, y queda:
t = < √(12)*m , -√(3)*m > (2),
con m ∈ R y m ≠ 0.
Luego, tienes la ecuación vectorial:
s + t = < 7 , -4 >, sustituyes las expresiones vectoriales señaladas (1) (2) en el primer miembro, y queda:
< √(5)*k , -√(20)*k > + < √(12)*m , -√(3)*m > = < 7 , -4 >, resuelves la suma vectorial en el primer miembro, y queda:
< √(5)*k + √(12)*m , -√(20)*k - √(3)*m > = < 7 , -4 >;
luego, por igualdad entre expresiones vectoriales, igualas componente a componente, y queda el sistema de ecuaciones:
√(5)*k + √(12)*m = 7,
-√(20)*k - √(3)*m = 4,
extraes factores de las raíces cuadradas de doce y de veinte, y queda:
√(5)*k + 2√(3)*m = 7 (3),
-2√(5)*k - √(3)*m = 4 (4);
luego, restas 2√(3)*m en ambos miembros de la ecuación señalada (3), y queda:
√(5)*k = 7 - 2√(3)*m (5),
sustituyes esta última expresión en la ecuación señalada (4), distribuyes su primer término, y queda:
-14 + 4√(3)*m - √(3)*m = 4, sumas 14 en ambos miembros, reduces términos semejantes, y queda:
3√(3)*m = 18, divides por 3 en ambos miembros, y queda:
√(3)*m = 6, multiplicas por √(3) en ambos miembros, y queda:
3*m = 6√(3), divides por 3 en ambos miembros, y queda:
m = 2√(3);
luego, reemplazas este último valor remarcado en la ecuación señalada (5), resuelves su último término, y queda:
√(5)*k = 7 - 12, reduces términos semejantes, multiplicas por √(5) en ambos miembros, y queda:
5*k = -5√(5), divides por 5 en ambos miembros, y queda:
k = -√(5).
Luego, reemplazas los valores remarcados en las expresiones de los vectores señaladas (1) (2), resuelves las componentes de los vectores, y queda:
s = < -5 , -10 >, cuyo módulo queda expresado: |s| = √( (-5)2 + (-10)2 ) = √(25 + 100) = √(125) = 5√(5),
t = < 12 , -6 >, cuyo módulo queda expresado: |t| = √( (12)2 + (-6)2 ) = √(144 + 36) = √(180) = 6√(5);
luego, planteas la expresión de la multiplicación de los módulos de los vectores s y t, y queda:
|s|*|t| = reemplazas valores:
= 5√(5)*6√(5) = resuelves:
= 150.
Espero haberte ayudado.