Comienza por expresar a las potencias como productos con algunos factores cuyos exponentes sean múltiplos de cuatro:

2⁹ = 2^2*4+1 = 2^2*4*2¹ = (2²)⁴*2¹,

3¹³ = 3^3*4+1 = 3^3*4*3¹ = (3³)⁴*3¹;

luego, tienes la expresión de tu enunciado:

⁴√(2⁹*3¹³) = sustituyes las expresiones de los factores en el argumento de la raíz:

= ⁴√( (2²)⁴*2¹ * (3³)⁴*3¹ ) = ordenas factores en el argumento de la raíz, y queda:

= ⁴√( (2²)⁴*(3³)⁴*2¹*3¹ ) = distribuyes la raíz entre los dos primeros factores, y el producto de los dos últimos, y queda:

= ⁴√( (2²)⁴ ) * ⁴√( (3³)⁴ ) * ⁴√( 2¹*3¹ ) = simplificas índices y exponentes en los dos primeros factores, y queda:

= 2²*3³*⁴√( 2¹*3¹ ).

Espero haberte ayudado.

Pareciera ser un asunto de impresión solamente. Por lo demás, la extracción de factores está presentada en forma correcta.

Espero haberte ayudado.

Vamos con una orientación para el primero.

Expresas el argumento de la integral como un producto, y queda:

I = ∫ (x-1)*2^-x*dx = distribuyes = ∫ x*2^-x*dx - ∫ 2^-x*dx;

y observa que en la primera integral puedes aplicar el Método de Integración por Partes,

con: u = x, du = dx, dv = 2^-x*dx, v = -2^-x;

y observa que la segunda integral es directa.

Luego, puedes terminar la tarea.

Espero haberte ayudado.

Seguramente, tienes vistas en clase las identidades para ángulos complementarios:

senβ = cosα (1),

cosβ = senα (2);

y también las identidades elementales:

tanx = senx/cosx (3),

cotgx = cosx/senx (4),

cotgx = 1/tanx (5).

luego, planteas la expresión de la tangente del ángulo β en función de su seno y de su coseno, y queda:

tanβ = senβ/cosβ = sustituyes las expresiones señaladas (1) (2):

= cosα/senα = sustituyes la expresión señalada (4):

= cotgα = sustituyes la expresión señalada (5):

 = 1/tanα.

Luego, tienes el dato: tanα = 3/4;

luego, aplicas la identidad demostrada en el inciso anterior, y queda:

tanβ = 1/tanα = 1/(3/4) = 4/3.

Luego, aplicas la identidad señalada (3) para expresar el dato, planteas la identidad fundamental, y queda el sistema de ecuaciones:

senα/cosα = 3/4, aquí haces pasaje de divisor como factor, y queda: senα = (3/4)cosα (6),

cos²α + sen²α = 1;

luego, sustituyes la ecuación señalada (6) en la segunda ecuación, resuelves el segundo término, y queda

cos²α + (9/16)cos²α = 1, reduces términos semejantes, y queda

(25/16)cos²α = 1, multiplicas por 16/25 en ambos miembros de la ecuación, y queda:

cos²α = 16/25,

haces pasaje de potencia como raíz (suponemos que el ángulo α pertenece al primer cuadrante), y queda:

cosα = 4/5;

luego, reemplazas en la ecuación señalada (6), resuelves, y queda:

senα = 3/5.

Buenas.

No, eso no lo vimos en clase. Además, ninguno de mis compañeros tenía el ejercicio hecho ni recordaban haberlo hecho. Quizá no hubo tiempo para explicarlo.

De todos modos, muchísimas gracias.

Puedes llamar x a la base del rectángulo, e y a su altura.

Luego, tienes la relación entre ellas: 2x + 2y = 10,

divides por 2 en todos los términos, haces pasaje de término,y queda: y = 5 - x (1).

Luego, planteas el área del rectángulo, y queda:

A = x*y, sustituyes la expresión señalada (1), y queda la expresión de la función área del rectángulo en función de su base:

A(x) = x*(5 - x), distribuyes y ordenas términos, y queda:

A(x) = -x² + 5x, resta y sumas 25/4 en la expresión de la función, y queda:

A(x) = -x² + 5x - 25/4 + 25/4, extraes factor común -1 entre los tres primeros términos, y queda:

A(x) = -1*(x² - 10x + 25/4) + 25/4, factorizas el trinomio cuadrado perfecto en el agrupamiento, y queda:

A(x) = -1*(x - 5/2)² + 25/4, que es la expresión canónica de la función;

luego, planteas la expresión de la gráfica de la función, y queda:

y = -1*(x - 5/2)² + 25/4, 

que es la ecuación cartesiana canónica de una parábola cuyo vértice es el punto:

V(5/2,25/4) ≡ V( 2,5 ; 6,25 ),

y observa que la abscisa del vértice es el valor crítico, y que su ordenada es el área máxima que ya has calculado.

Luego, observa que la gráfica de la función es creciente en el intervalo en estudio: [ 1,5 ; 1,75 ], 

por lo que tienes que:

el valor mínimo del área para este intervalo es:

A(1,5) = -1,5² + 5*1,5 = -2,25 + 7,5 = 5,25 m²;

el valor máximo del área para este intervalo es:

A(1,75) = -1,75² + 5*1,75 = -3,0625 + 8,75 = 5,6875 m².

Espero haberte ayudado.

Gracias ! pero como ha salido 25/4 ??

Una Raiz real

Por el teorema de Bolzano:
ADMITE AL MENOS UNA RAÍZ REAL.

Bien dicho Antonio. Ja, ja

Revisa la ecuación no queda clara

¿Puedes subir foto del enunciado original?

Tienes que el ángulo pertenece al primer cuadrante.

Tienes la ecuación

cosecθ = 30, sustituyes la expresión de la cosecante en función del seno, y queda:

1/senθ = 30, haces pasaje de divisor como factor y de factor como divisor, y queda:

1/30 = senθ (1);

luego, expresas al seno en función del coseno, y queda:

1/30 = √(1 - cos²θ), haces pasaje de raíz como potencia, y queda:

1/900 = 1 - cos²θ, haces pasajes de términos, y queda:

cos²θ = 899/900 (1), haces pasaje de potencia como raíz (observa que elegimos la raíz positiva), y queda:

cosθ = √(899/900) = √(899)/30

Luego, planteas la expresión de tu enunciado, y queda:

30*(cosθ)² + 130 = reemplazas el valor señalado (1):

= 30*(899/900) + 130 = resuelves el primer término:

= 899/30 + 130 = extraes denominador común

= (899 + 3900)/30 = 4799/30.

Espero haberte ayudado.