Vas bien con los planteos.

Observa que en tu segunda sustitución (cambio de variable) tienes:

u = 1 - t, de donde puedes despejar: t = 1 - u, y también: dt = - du.

Luego, sustituyes y la integral queda:

I = 6 ∫ ( t³/(1- t) ) dt = 6 ∫ ( (1-u)³/u ) (-du) = - 6 ∫ ( (1 - 3u + 3u² - u³)/u ) du = - 6 ∫ (1/u - 3 + 3u - u²) du = - 6 ( ln|u| - 3u + 3u²/2 - u³/3 ) + C.

Luego, solo queda que vuelvas a sustituir, para expresar la solución en función de la variable independiente x.

Espero haberte ayudado.

No me da ! Tiene q dar esto supuestamente 

Lo que he resuelto arriba está bien (salvo un detalle menor) pero no corresponde a tu ejercicio , aunque sólo difiere al final en el cambio de variable.

En tu ejercicio por la forma como lo haces seguro no vas a obtener lo que ponen en tu respuesta . Acá hay un asunto muy importante que corresponde a la teoría ,
cuando se calcula la antiderivada lo que se obtiene en sí es una familia de funciones cuya derivada es la función integrando (por eso se agrega al final la constante)
Entonces dependiendo del cambio de variable se pueden obtener expresiones diferentes para una misma antiderivada , si estas son correctas entonces se deben
diferenciar en una constante.
Por ejemplo ∫2SenxCosxdx =(Senx)^2 +C1 = - (Cosx)^2 +C2 = - (1/2)Cos2x +C3

Adjunto solución esta vez sí de tu ejercicio , calculando de 2 formas : como lo estás planteando y sin un segundo cambio de variable , fíjate el detalle de las expresiones diferentes
A modo de comprobación pongo links de Wolfram Alpha
Comprobación del primer resultado https://goo.gl/HIYsHn 
Comprobación del segundo resultado  https://goo.gl/lN4kJ4 

Muchas gracias por tomarte el tiempo de hacerlo de las dos formas! ya me quedo claro. Muchas gracias..

1)

Si consideras t = 1 para el año 2001, tienes que para el año 2006 el valor correspondiente es t = 6,

y la venta anual queda:

S = 150000 + 3000*6 = 150000 + 18000 = 168000 dólares.

Observa que para valor de t que quieras sustituir existe un único valor de S, por lo que tienes que S es una función de t.

2)

Tienes la expresión de la función:

f(n) = (10/9)n(12 - n) = (40/3)n - (10/9)n²,

luego planteas la expresión de la función derivada y queda:

f ' (n) = 40/3 - (20/9)n,

luego planteas la condición de punto crítico (posible máximo o posible mínimo):

f ' (n) = 0, sustituyes la expresión del primer miembro y queda:

40/3 - (20/9)n = 0, multiplicas en todos los términos de la ecuación por - (9/20), simplificas y queda:

- 6 + n = 0, haces pasaje de término y queda:

n = 6.

Luego, puedes probar que corresponde a un máximo de la función evaluándola para un valor menor y otro mayor que n = 6:

f(5) = (10/9)*5*(12 - 5) = (10/9)*5*7 ≅ 38,8889, que corresponde a 38889 familias;

f(6) = (10/9)*6*(12 - 6) = (10/9)*6*6 = 40, que corresponde a 40000 familias;

f(7) = (10/9)*7*(12 - 7) = (10/9*7*5 ≅ 38,8889, que corresponde a 38889 familias.

Por lo tanto, la cantidad máximas de familias que utilizarán el producto es cuarenta mil, y lo harán a los seis meses de lanzado el producto.

Espero haberte ayudado.

Una ultima pregunta,como que temas usastes o se usan,para poder plantear y resolverver este tipo de problemas,es curiosidad me ayudarias de mucho :D

¿por la cia?.. Lo siento, no entiendo...

Ya lo resolví, muchísimas gracias !

Hola Neofito muchisimas gracias por responder pero efectivamente me refería a eso, me piden calcular la derivada de eso, mi profesora quiere que lo hagamos. Si me lo hicieras me salvarías la vida ya que mañana tengo examen. 

Mil gracias

No es correcto decir que en todas las " x " que ves en la fórmula de la derivada vas a poner " x+h" 
Solamente eso se hace en f(x+h)  allí sí se cambia las " x " de la fórmula inicial por " x+h " pero sólo allí
Como dije la ves pasada sólo es cuestión de leer la fórmula.

Quiero utilizar la fórmula para la derivada de x porque la de sustituir f(2) creo que sí se hacerla.

Si me hicieras la derivada aplicando la fórmula general como definición sin utilizar para sustituir x=2 lo agradecería mucho

Pensé que sabías resolver ese límite por eso lo dejé
Acá completo ese ejercicio.


Para lo que pides que es encontrar la derivada de f(x) por definición es lo mismo sólo que en vez de " 2 " pones " x " , fíjate la analogía en la siguiente imagen.

Se sale del contenido de unicoos.

La he resuelto teniendo en cuenta la notación trigonométrica de Fourier y me quedó:

Ao = 1/3

An = [2cos(npi)]/(npi)^2

Bn = 1/npi

Intenta resolverla a ver que te queda, o envía tu procedimiento aquí y lo veo

Recuerda para simplificar expresiones en este tema:

Cos(npi) = (-1)^n     aplica también si tienes cos(-npi)

Sen(npi) = 0   aplica también si tienes sen(-npi)

Te enviaría mi procedimiento pero mi internet es muy lento para la carga de imágenes

No será Senh(4x) osea Seno hiperbólico ?? copiaste bien ?

Si el rango de A es 3, el rango de la ampliada también puede valer 3... 
Y hay valores de "λ" que permiten que el rango de A sea 3... 
Revisa despacio los videos de "discutir un sistema"

Si f(x)=3x^4 +4x³-36x², la primera derivada es f'(x)=12x³+12x²-72x... Y la segunda derivada es f''(x)=36x²+24x-72.
Al igualarla a 0, te da dos posibles valores para los puntos de inflexión... x=(-1-√19)/3 y  x=(-1+√19)/3
La tercera derivada es f''(x)=72x+24... SUSTITUYE LOS VALORES DE X OBTENIDOS EN ESA TERCERA DERIVADA...
Si te da distinto de cero (cosa que ocurre), los valores obtenidos son puntos de inflexion...

Te sugiero revises.. Crecimiento y curvatura de una función polinomica

cuélgalo y lo hacemos entre todos