Hola que tal... siguiendo lo que dice tu problema (imagen) podes resolverlo viendo en que puntos corta el plano dado (x+4y+z=4) con los ejes.
 Con los puntos obtenidos hacer distancia al origen y después con los vectores que hallas haciendo eso hacer por ultimo producto mixto pero para un tetraedro.

(Volumen de un tetraedro) V=1/6 por el producto mixto.
 Espero que hallas entendido.... A mi medio V= 8/3 que es igual = 2,6667 osea la 4).

x+y+z=4

Cortes con los ejes: A(4,0,0), B(0,1,0) y C(0,0,4)

Vectores que determinan el tetraedro:  OA, OB y OC
Volumen= (1/6) Producto mixto (OA,OB,OC)=(1/6)Det(OA,OB;OC)=(1/6)·4^2 = 8/3=2.6666..... u^3

a)
3x + 0y + 6z = 1   ➨   Vector normal n₁ = (3, 0, 6) 
2x + 2y - 1z = 3   ➨   Vector normal n₂ = (2, 2, -1) 

demostremos que son ortogonales o perpendiculares haciendo el producto escalar entre los vectores normales. 

n₁ • n₂ = (3, 0, 6) • (2, 2, -1) = 3·2 + 0·2 + 6·(-1) = 6 + 0 - 6 = 0 ⇒ LOS PLANOS SON PERPENDICULARES 

Observa que tienes integrales de funciones vectoriales, por lo que debes integrar cada componente por separado (indicamos con corchetes que debemos evaluar con Regla de Barrow).

1)

∫ 2/√(1-t²) dt = 2 ∫ 1/√(1-t²) dt = 2 [acrsent] = 2arcsen1 - 2arcsen0 = 2π/2 - 2*0 = π;

∫ √(3)/(1+t²) dt = √(3) ∫ 1/(1+t²) dt =√(3) [arctant] = √(3)(arctan1 - arctan0) = √(3)(π/4 - 0) = √(3)π/4.

Luego, el resultado de la integral del enunciado es I = < π , 0 , √(3)π/4 >.

2)

Vamos con orientaciones:

en la primera componente aplica la sustitución (cambio de variable): u = t²,

en la segunda observa que la primitiva es -e^-t, 

en la tercera observa que la primitiva es: t,

luego evalúas con la Regla de Barrow y tienes la función vectorial resultante, todo con el mismo método que aplicamos en el ejercicio anterior.

Espero haberte ayudado.

Tenemos la función cuya expresión es:

f(x) = x|x - 1|, y tenemos: f(1) = 1|1 - 1| = 1*0 = 0.

Luego planteamos la derivada para x = 1:

f ' (1) = Lím(h→0) ( f(1+h) - f(1) )/h = sustituimos y reemplazamos en el numerador

= Lím(h→0) ( (1 + h)|1 + h - 1| - 0 )/h =resolvemos el segundo agrupamiento y cancelamos el término nulo:

= Lím(h→0) ( (1 + h)|h| )/h,

luego, planteamos las derivadas laterales (recuerda la definición de valor absoluto):

f_-' (1) = Lím(h→0-)  ( (1 + h)(-h) )/h = Lím(h→0-) -h(1 + h)/h = simplificamos = Lím(h→0-) -(1 + h) = - 1;

f₊' (1) = Lím(h→0+)  ( (1 + h)h )/h = Lím(h→0+) h(1 + h)/h = simplificamos = Lím(h→0-) (1 + h) = + 1;

luego, como las derivadas laterales no coinciden, tenemos que la función no es derivable para x = 1.

Espero haberte ayudado.

Supongamos que la Superficie es cerrada, y también cumple con las Hipótesis del Teorema de la Divergencia de Gauss.

Tenemos que la Superficie cerrada limita a un sólido simple.

Luego consideremos el campo vectorial cuya expresión es:

F = < x/3 , y/3 , z/3 > = (1/3)< x , y , z > = (1/3)r,

y observa que el campo tiene componentes continuas con derivadas parciales primeras continuas en R³, y por lo tanto cumple con la Hipótesis correspondiente del Teorema de Gauss, y observa que su divergencia queda: div(F) = ∇•F = 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1.

Luego pasamos al problema:

(1/3) ∯ r∗•n dσ = ∯ (1/3)r•n dσ = ∯ F•n dσ = aplicamos el Teorema de Gauss = ∫∫∫ ∇•F dV = ∫∫∫ 1 dV = V.

Espero haberte ayudado.

Esta duda ya fue contestada, busca la respuesta más abajo!!!!

Pon foto del enunciado original, por favor.

Antonio Benito, el enunciado es este exactamente.

Observa que podemos considerar a los números naturales: m y m+1 = n.

Luego, el enunciado queda:

(∀m)( m ∈ N ∧ 41 | m² + (m+1)² )

Observa que el enunciado es Falso:

tomamos el número natural m = 1, luego  tenemos al consecutivo: n = m + 1 = 2,

y tienes que 41 no divide a 1² + 2² = 5.

Espero haberte ayudado.

Foto del enunciado original, por favor.

Hola,

Si coincide en todos los puntos y tiene la misma naturaleza que f(x), ¿no es lógico que f(x)=g(x)

Perdona, me he cofundido de pregunta a responder

para hallar la función g(x) bastaría con multiplicar y dividir la función original por (x-1), es decir:

g(x) = [f(x) · (x-1)]/(x-1)

Solo una antiimagen: la que tú propones.