Tienes las ecuaciones de las asíntotas: y = √(3)x e y = -√(3)x, que se cortan en el origen de coordenadas, por lo que tenemos que el centro de simetría de la Hipérbola es C(0,0).
Haz un gráfico cartesiano, con las gráficas de las asíntotas, y señala el punto de coordenadas (4,6), y verás que se encuentra en el primer cuadrante, en la región limitada por el eje OX y la asíntota con pendiente positiva, por lo que tenemos:
Hipérbola con eje focal OX, focos (-c,0) y (c,0), con c a determinar, cuya ecuación tiene la forma:
x2/a2 - y2/b2 = 1,
y cuyas asíntotas tienen ecuaciones de la forma:
y = - (b/a)x e y = (b/a)x.
Luego, a partir de las pendientes de las asíntotas, tenemos la ecuación:
b/a = √(3), de donde podemos despejar: b = √(3)a (1),
luego, como tenemos el punto de coordenadas (4,6) que pertenece a la Hipérbola, reemplazamos sus coordenadas y sustituimos la expresión señalada (1) en su ecuación y queda:
42/a2 - 62 / 3a2 = 1, resolvemos el coeficientes en los términos y queda:
16/a2 - 12/a2 = 1, multiplicamos por a2 en todos los términos de la ecuación y queda:
16 - 12 = a2, de donde tenemos: 4 = a2, de donde despejamos: 2 = a,
luego reemplazamos en la ecuación señalada (1) y queda: b = 2√(3),
luego, a partir de la relación de la longitud del semieje focal de la Hipérbola con las longitudes de los semiejes real e imaginario, tenemos:
c = √(a2 + b2) = reemplazamos valores = √(4 + 12) = √(16) = 4,
y la ecuación de la Hipérbola queda:
x2/4 - y2/12 = 1.
Luego, solo queda que reemplaces valores para expresar las coordenadas de los puntos notables:
Centro de simetría: (0,0), Focos: (±c,0), Vértices Reales: (±a,0), Vértices Imaginarios: (0,±b).
Espero haberte ayudado.
