Vamos con el ejercicio 68.

Primero, estudiemos el denominador de la primera fracción:

1 + 1/(1+x) = extraemos denominador común = (1 + x + 1)/(1+x) = (2+x)/(1+x).

Luego, estudiemos la primera fracción:

1 / ( 1 + 1/(1+x) ) = sustituimos = 1 / ( (2+x)/(1+x) ) = resolvemos la división entre expresiones fraccionarias = (1 + x)/(2+x).

Por último, pasamos a la expresión del enunciado:

1 + ( 1 / ( 1 + 1/(1+x) ) ) = sustituimos = 1 + (1 + x)/(2+x) = extraemos denominador común =(2 + x + 1 + x)/(2+x) = (3 + x)/(2 + x).

Espero haberte ayudado.

Gracias a los dos.

Gracias Antonio.

Gracias Axel.

Gracias Antonio.

Indicaciones David ¿¿??

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+(e%5E(x)(sinx%2B2))%2F(cosx)dx

Por favor adjunta una imagen del enunciado original Juan. :-)

Tienes la ecuación logarítmica:

(1 + log₃x)/(1 + log_x3) = 1/3

Observa que el denominador no puede ser nulo, por lo que planteamos:

1 + log_x3 ≠ 0, hacemos pasaje de término y queda:

log_x3 ≠ - 1, componemos con la función inversa del logaritmo en base x en ambos miembros y queda:

3 ≠ x^{- 1}, expresamos el segundo miembro en forma fraccionaria y queda:

3 ≠ 1/x, hacemos pasajes de divisor y de factor y queda:

x ≠ 1/3.
Luego, en la ecuación del enunciado hacemos pasajes de divisores como factores y queda:

3*(1 + log₃x) = 1*(1 + log_x3), distribuimos en ambos miembros y queda:

3 + 3*log₃x = 1 + log_x3, hacemos pasaje de término numérico y queda:

2 + 3*log₃x = log_x3,  aplicamos la fórmula de cambio de base en ambas expresiones logarítmicas (cambiamos a base decimal) y queda:

2 + logx/log3 = log3/logx, extraemos denominador común en el primer miembro y queda:

(2*log3 + logx)/log3 = log3/logx, hacemos pasajes de divisores como factores y queda:

(2*log3 + logx)*logx = (log3)², distribuimos en el primer miembro y queda:

2*log3*logx + (logx)² = (log3)², hacemos pasaje de término, ordenamos términos y queda:

(logx)² + 2*log3*logx  - (log3)² = 0, aplicamos la sustitución (cambio de incógnita): w = logx (observa que 10^w = x) y queda:

w² + 2*log3*w - (log3)² = 0, que es una ecuación polinómica cuadrática cuyas soluciones son:

a) w = - log3 + √(2)*log3 = (- 1 + √(2)*log3 ≅ 0,1976, que corresponde a: x = 10^{(- 1 + √(2)*log3} ≅ 1,5763;

b) w = - log3 - √(2)*log3 = (- 1 - √(2)*log3 ≅  - 1,1519, que corresponde a: x = 10^{(- 1 - √(2)*log3} ≅  0,0705.

Espero haberte ayudado.

Puedes plantear el algoritmo de multiplicación 

        3333......333 (doscientas cifras

                      * 12

--------------------------

      6666.....666 (doscientas cifras)

   33333.....33   (doscientas una cifras, recuerda que estamos multiplicando desde las decenas en adelante)

--------------------------

   39999....996 (doscientas una cifras, la primera es 3, la última es 6, y las ciento noventa y nueve intermedias son 9)

Luego, la suma total de cifras queda:

S = 3 + 199*9 + 6 = 3 + 1791 + 6 = 1800.

Espero haberte ayudado.

Está correcto, pero observa que podrías haber ahorrado pasos (transcribimos tu primera línea):

tan(2α) = sen(2α)/cos(2α) = 2*senα*cosα / (cos²α - sen²α) =

ahora puedes dividir en el numerador y en el denominador por cos²α, y observa que en el denominador puedes distribuir, luego queda:

= (2*senα*cosα/cos²α) / (cos²α/cos²α - sen²α/cos²α) =

luego simplificas factores y divisores y queda:

= (2*senα/cosα) / ( 1 - (senα/cosα)² ) =

luego aplicamos la identidad para la tangente y queda:

= 2*tanα/(1 - tan²α).

Espero haberte ayudado.

Division de polinomios Ruffini