Observa que el dominio de la función es: D = R, y observa también que la función es continua en todo punto de su dominio, por ser composición entre funciones continuas,
y recuerda que una expresión con valor absoluto puede expresarse en trozos y, para determinar el puno de corte, planteamos:
3x - 7 = 0, de donde podemos despejar: x = 7/3,
Luego, a partir de la definición de valor absoluto, planteamos la expresión a trozos:
f(x) = |3x - 7| =
-(3x - 7) si 3x - 7 < 0
3x - 7 si 3x - 7 ≥ 0
Luego, resolvemos signos y despejamos en las condiciones de cada trozo y queda:
f(x) =
-3x + 7 si x < 7/3
3x - 7 si x ≥ 7/3
Luego, observa que ambos trozos tienen expresiones polinómicas, por lo que la función resulta derivable en todo punto distinto de 7/3, y la expresión de la función derivada queda:
f ' (x) =
-3 si x < 7/3
a determinar si x = 7/3
3 si x > 7/3
Luego, observa que la función derivada presenta una discontinuidad inevitable tipo salto para x = 7/3, ya que los límites laterales son: -3 por izquierda y 3 por derecha.
luego, podemos estudiar la derivabilidad en x = 7/3 por medio de las derivadas laterales, que planteamos según la definición:
f-' (7/3) = Lím(h→0-) f(x) = Lím(h→0-) ( f(7/3+h) - f(7/3) )/h = Lím(h→0-) (-7 - 3h + 7 - 0)/h = Lím(h→0-) (-3h/h) = - 3;
f+' (7/3) = Lím(h→0+) f(x) = Lím(h→0+) ( f(7/3+h) - f(7/3) )/h = Lím(h→0+) (7 + 3h - 7 - 0)/h = Lím(h→0-) (3h/h) = 3;
luego, como las derivadas laterales no coinciden, concluimos que la función no es derivable en x = 7/3, y su dominio de derivabilidad es: R - {7/3}.
Espero haberte ayudado.
