Comencemos por establecer el dominio de la función:

observa que x debe ser estrictamente positivo, porque si es igual a cero se anula el denominador, y si x es negativo se indetermina su primer término. Luego planteamos:

2√(x) - x² ≠ 0, escribimos la raíz cuadrada como potencia fraccionaria:

2x^1/2 - x² ≠ 0, extraemos factor común:

x^1/2 *(2 - x^3/2) ≠ 0, luego, por anulación de un producto tenemos dos opciones:

a) x^1/2 ≠ 0, de donde despejamos: x ≠ 0;

b) 2 - x^3/2 ≠ 0, hacemos pasaje de término: 2 = x^3/2 , luego despejamos: x ≠ 2^2/3= ∛(4).

Luego, el dominio de la función expresado como intervalo queda: D = (0,2^2/3) u (2^2/3,+∞).

Luego, pasamos al estudio de las asíntotas:

1) Posibles Asíntotas Verticales: x = 0, x = 2^2/3. 

1a) Lím(x→0⁺) f(x) = ∞ (observa que el numerador tiende a 1 y el denominador tiende a cero desde valores positivos),

por lo que tenemos que la gráfica de la función presenta asíntota vertical, cuya ecuación es: x = 0;

1b) Lím(x→∛(4)) f(x) = ∞ (observa que el numerador tiende a 3 y el denominador tiende a cero),

por lo que tenemos que la gráfica de la función presenta asíntota vertical, cuya ecuación es: x = ∛(4).

2) Posibles Asíntotas Horizontales:

Lím(x→+∞) f(x) = -∞ (observa que el mayor exponente en el numerador es 3 y el signo de su término es positivo, y que el mayor exponente en el denominador es 2 y el signo de su término es negativo, por lo que tienes que el numerador es de mayor orden de magnitud que el denominador),

por lo que tenemos que la gráfica de la función no presenta asíntota horizontal.

3) Posibles Asíntotas Oblicuas:

3a) estudiamos el límite para x tendiendo a infinito de la pendiente: 

Lím(x→+∞) f(x)/x = dividimos por x en todos los términos del numerador:

= Lím(x→+∞) (x² - x^1/2 + 1/x)/(2√(x) - x²) =

dividimos por x2 en todos los términos de la expresión para determinar órdenes de magnitud:

= Lím(x→+∞) (1 - 1/x^3/2 + 1/x³)/(2/x^3/2 - 1) = 1/(-1) = - 1 = m;

3b) estudiamos el límite para x tendiendo a infinito para determinar el valor de la ordenada al origen:

Lím(x→+∞) (f(x) - mx) = reemplazamos:

= Lím(x→+∞) ( (x³ - x^3/2 + 1)/(2√(x) - x²) + x ) = extraemos denominador común:

= Lím(x→+∞) ( x³ - x^3/2 + 1 + 2x^3/2 - x³  )/(2√(x) - x²) = reducimos términos semejantes en el numerador:

= Lím(x→+∞) ( x^3/2 + 1 )/(2√(x) - x²) = dividimos en todos los términos de la expresión por x²:

=  Lím(x→+∞) ( 1/x^1/2 + 1/x² )/(2/x^3/2 - 1) = 0/(-1) = 0 = b.

Luego, planteamos la ecuación cartesiana explícita de la asíntota oblicua (y = mx + b) y queda: y = - x.

Espero haberte ayudado.

Totalmente simplificada:

hola Antonio,pero lo que yo hice porque esta mal?

No sirve cualquier vector perpendicular al vector director de la recta, sino exactamente uno.

Ah.. gran detalle, el hecho de que no sirve cualquier vector sino solamente uno, esta relacionado a que el punto debe pertenecer a la recta? es por eso?

Claro, el vector que buscas es igual (o proporcional) al vector que une P con el pie de la perpendicular (proyección ortogonal) de P sobre r.

yo pensaba que encontrando un vector cualquiera que fuera perpendicular al vector director de r ya estaba , puesto que luego al formar la ecuación de la recta obligo a que  el punto deseado pertenezca a la recta

Gracias a los dos.

Tienes la ecuación:

(t - 4)² = (t + 4)² + 32, desarrollas los binomios elevados al cuadrado y queda:

t² - 8t + 16 = t² + 8t + 16 + 32, haces pasajes de términos (observa que tienes cancelaciones de términos opuestos) y queda:

- 16t = 32, haces pasaje de factor como divisor y queda:

t = - 2.

Espero haberte ayudado.

Gracias Axel y Antonio.

Muchas gracias Axel.