Esta sumamente explicado, Sumi, espero ayudarte. Saludos :)

54) Tienes el vector a = <1,2>,y puedes plantear un vector perpendicular al vector a. p = <2,-1> (observa que hemos permutado las componentes y hemos cambiado el signo de una de ellas, que es la forma práctica para encontrar un vector perpendicular a un vector conocido de dos componente, y puedes probar que efectivamente son perpendiculares, porque resuelves el producto escalar entre ellos y es igual cero).

Luego, debes plantear que una combinación lineal de los vectores a y p es igual al vector b (indicamos con α y Β a los números reales que debemos determinar):

αa + βp = b, reemplazamos y queda:

α<1,2> + β<2,-1> = <5,5>, resolvemos los términos, igualamos componente a componente y queda el sistema:

α + 2β = 5, de aquí despejamos: α = 5 - 2β (1)

2α - β = 5

luego sustituimos la expresión señalada (1) en la segunda ecuación, distribuimos y queda:

10 - 4β - β = 5, hacemos pasaje de término, reducimos términos semejantes y queda: - 5β = -5, de donde podemos despejar: β = 1,

luego reemplazamos en la ecuación señalada (1) y queda: α = 5 - 2*1, resolvemos y llegamos a: α = 3.
Luego, tenemos al vector b expresado como combinación lineal de los vectores a y p, donde el vector p es perpendicular al vector a:

3a + 1p = b, reemplazamos y queda: 3<1,2> + 1<2,-1> = <5,5>.

55) Tenemos que los vectores c y d son perpendiculares, por lo que planteamos que su producto escalar es igual a cero:

c • d = 0, sustituimos y queda:

(a + 2b)•(5a - 4b) = 0, distribuimos y queda:

5a•a - 4a•b + 10b•a - 8b•b = 0, aplicamos la propiedad "el producto escalar de un vector por si mismo es igual al cuadrado de su módulo" y queda:

5*|a|² - 4a•b + 10b•a - 8|b|² = 0, reemplazamos los módulos de los vectores, reducimos términos semejantes (recuerda que el producto escalar es conmutativo) y queda:

5*1² + 6a•b - 8*1² = 0, hacemos pasajes de términos, resolvemos términos numéricos y queda:

6a•b = 3, hacemos pasaje de factor como divisor y queda:

a•b = 1/2.

Luego, planteamos para el coseno del ángulo que forman los vectores a y b:

|a|*|b|*cosθ = a•b, reemplazamos valores conocidos y queda:

1*1*cosθ = 1/2, de donde tenemos: cosθ = 1/2,, que nos conduce a: θ = 60°.

Espero haberte ayudado.

Muchísimas gracias a todos!!!! 😊😊

2sen^2(t) - 1                        =  -cos(2t)

2sen^2(t) - 1                        =  -cos^2(t) + sen^2(t)------> ¿Esto es por suma y diferencia de ángulos?

Gracias!!!

Es una identidad trigonométrica, es el coseno del ángulo doble.

Vamos con otra forma, en la que empleamos la identidad pitagórica fundamental y la identidad del coseno del doble de un ángulo, para armar el sistema de ecuaciones:

cos²t + sen²t = 1

cos²t - sen²t = cos(2t)

Luego, sumas miembro a miembro (observa que hay cancelaciones de términos) y queda:

2cos²t = 1 + cos(2t)

luego haces pasaje de factor como divisor y queda:

cos²t = ( 1 + cos(2t) )/2.

Y en forma similar, si restas miembro a miembro en el sistema de ecuaciones, queda:

2sen²t = 1 - cos(2t)

luego haces pasaje de factor como divisor y queda

sen²t = ( 1 - cos(2t) )/2.

Espero haberte ayudado.

Observa que tienes raíces cuadradas y cúbicas, cuyo mínimo común índice es 6, cuyo argumento es (x + 1) o (x + 1)²,

es de ahí que propones la sustitución (cambio de variable): x + 1 = t⁶, de donde tienes: dx = 6t⁵dt.

Observa que al sustituir, y luego de simplificar, las raíces quedan:

√(x + 1) = √(t⁶) = t³,

∛( (x + 1)² ) = ∛( (t⁶)² ) = ∛(t¹²) = t⁴.

Luego, sustituyes y la integral del enunciado queda:

I = ∫ ( (t³ + 2) / (t⁴ - t³) )*6t⁵dt, extraemos factor común en el denominador del integrando y queda:

I = ∫ ( (t³ + 2) / t³*(t - 1) )*6t⁵dt, simplificamos potencias de t y queda:

I = ∫ ( (t³ + 2) / (t - 1) )*6t²dt, extraemos el factor constante, distribuimos en el numerador y queda:

I = 6*∫ ( (t⁵ + 2t²) / (t - 1) )*dt,

luego efectúas la división entre el polinomio numerador y el polinomio denominador con la Regla de Ruffini (debes revisar tu cálculo) y queda:

I = 6*∫ ( (t⁴ + t³ + 3t² + 3t + 3 + 3/(t - 1) )*dt, luego integras término a término y llegas a:

I = 6*(t⁵/5 + t⁴/4 + t³ + 3t²/2 + 3t + 3ln|t - 1| ) + C.

Espero haberte ayudado.

325 aumenta el 28%,

esto quiere decir que, como por definición el Indice de variación= 1+porcentaje/100, el índice de variación será igual a 1+(28/100)= 1+0.28=1.28

Cantidad final= Cantidad inicial * Indice de variación, entonces la cantidad final será 325*1.28= 416

En x=-4 la función no existe. Revisa el enunciado.

Disculpa me habían pasado mal el ejercicio ( ya decía yo que no me cuadraba)

el ejercicio es aplicando la definición de derivada de f(x)=(√ 2x +1)el 1 va en la raíz para x=4

lo acabo de hacer y me da 2!!

Te lo voy a mandar (y creo que el 1 está dentro del radical)

Correcto!!! Muchas gracias!!

1) Aplicas la propiedad del logaritmo de una potencia en el segundo miembro y queda:

log(35 - x³) = log( (5 - x)³ ), luego, por igualdad entre logaritmos, tenemos:

35 - x³ = (5 - x)³, desarrollamos el binomio elevado al cubo y queda:

35 - x³ = 125 - 75x + 15x² - x³, hacemos pasajes de términos, reducimos términos semejantes (observa que se cancelan los términos cúbicos) y queda:

- 15x² + 75x - 90 = 0, dividimos en todos los términos de la ecuación por - 15 y queda:

x² - 5x + 6 = 0, que es una ecuación polinómica cuadrática cuyas soluciones son:

a) x = 2, que verifica la ecuación del enunciado,

b) x = 3, que verifica la ecuación del enunciado.

2) Entendemos que la ecuación del enunciado es:

log_16x+4(x²) + log_16x+4(5x + 31) = log_16x+4(- 31x - 5),

aplicamos la propiedad del logaritmo de un producto en el primer miembro y queda:

log_16x+4( x² * (5x + 31) ) = log_16x+4(- 31x - 5),

luego, por igualdad entre logaritmos queda la ecuación:

x² * (5x + 31) = - 31x - 5, distribuimos en el primer miembro, hacemos pasajes de términos y queda:

5x³ + 31x² + 31x + 5 = 0, extraemos factores comunes por grupos de términos con iguales coeficientes numéricos y queda:

5(x³ + 1) + 31x(x + 1) = 0, factorizamos el agrupamiento del primer término (observa que es una suma de cubos perfectos) y queda:

5(x + 1)(x² - x + 1) + 31x(x + 1) = 0, extraemos factor común y queda:

(x + 1)*( 5(x² - x + 1) + 31x ) = 0, distribuimos y reducimos términos semejantes en el segundo agrupamiento, y queda:

(x * 1)*(5x² + 26x + 5) = 0, luego, por anulación de un producto, tenemos dos opciones:

a)

x + 1 = 0, hacemos pasaje de término y queda: x = -1, que no es solución porque conduce  una base negativa para los logaritmos del enunciado;

b)

5x² + 26x + 5 = 0, que es una ecuación polinómica cuadrática cuyas soluciones son:

b1) x = - 5, que no es solución porque conduce  una base negativa para los logaritmos del enunciado 

b2) x = - 1/5, que si es solución que verifica la ecuación logarítmica del enunciado.

Espero haberte ayudado.

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