Tienes la ecuación trigonométrica:

sen⁴x + cos⁴x = 1.

Planteamos identidades para el segundo término y queda:

cos⁴x = (cos²x)² = (1 - sen²x)² = 1 - 2sen²x + sen⁴x,

luego sustituimos en la ecuación del enunciado y queda:

sen⁴x + 1 - 2sen²x + sen⁴x = 1, hacemos pasaje de término, reducimos términos semejantes y queda:

2sen⁴x - 2sen²x = 0, extraemos factor común y queda:

2sen²x(sen²x - 2) = 0, hacemos pasaje de fac

sen²x(sen²x - 1) = 0, luego, por anulación de un producto tenemos dos opciones:

1)

sen²x = 0, hacemos pasaje de potencia como raíz y queda:

senx = 0, que conduce a cosx = ±1, que al reemplazar en la ecuación del enunciado queda: 0⁴ + (±1)⁴ = k, que corresponde a: 1 = k,

observa que tenemos: x = kπ, con k ∈ Z;

2)

sen²x - 1 = 0, hacemos pasaje de término y queda:

sen²x = 1, hacemos pasaje de potencia como raíz y queda:

senx = ±1, que conduce a cosx = 0, que al reemplazar en la ecuación del enunciado queda:(±1)⁴ + 0⁴ = k, que corresponde a: 1 = k,

observa que tenemos: x = (2m+1)π/2, con m ∈ Z.

Por lo tanto, tenemos que k debe ser igual a 1.

Espero haberte ayudado.

 pero ¿ por qué al principio  igualas la expresión a 1 si te piden todos los posibles resultados de K?si igualas la expresión sen⁴  + cos ⁴   a 1 no es lo mismo que decir que 1=k?¿K no tiene más posibles resultados?  ¿si compruebas la igualdad de   sen⁴  + cos ⁴  =1 con cualquier ángulo se verifica?                                 

Gracias pero no entiendo por que simplemente se realiza así.

Consideremos tres planos dados por sus ecuaciones generales:

1: Ax+By+Cz+D=0

2: A'x+B'y+C'z+D'=0

3: A''x+B''y+C''z+D''=0

Para determinar que tipo de interseccion tienen, es necesario estudiar el sistema formado por las tres ecuaciones. Cuando se estudia la compatibilidad del sistema se pueden presentar los casos siguientes:

• rango M = rango M' = 1. El sistema es compatible indeterminado con dos grados de libertad. En este caso los tres planos son coincidentes, porque los numeros que forman las tres filas de las matrices M i M' del sistema son proporcionales. Los vectores asociados a los planos respectivos son linealment dependientes.
• rango M = 1 y rango M'=2. El sistema es incompatible. Los tres planos no tienen ningun punto en comun. El hecho de que rango M=1 y rango M'=2 nos indica que como minimo dos de ellos son paralelos y que el tercero o es paralelo a los otros dos o coincide con uno de ellos. Para verlo, es necesario estudiar la condicion de paralelismo entre cada dos de los planos.
• rango M = rango M'=2. El sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad. Los tres planos tienen en comun una recta determinada por dos de ellos, la ecuacion del tercer plano es una combinacion lineal de los otros dos.
• rango M = 2 y rango M'=3. El sistema es incompatible. Los tres planos no tienen ningun punto en comun. Dos de ellos se cortan porque rango M=2 y el tercero puede ser paralelo a uno de ellos o determinar otra recta. En este último caso diremos que los tres planos son secantes dos a dos.
• rango M=rango M'=3. El sistema es compatible determinado. Los tres planos tienen un punto en común. La solucion del sistema nos dara las coordenadas del punto comun a los tres planos.
  

  
  

Observa que tienes un polinomio de grado tres con todos sus coeficientes reales positivos, por lo que sus raíces reales, que pueden ser una o tres, deben ser todas negativas.

Luego, te recomiendo que pases a mirar el vídeo sobre Fórmula de Cardano aquí en Unicoos.

Espero haberte ayudado.

multiplica al denominador y al numerador por la expresion racional (raiz cuarta de 5 todo esto al cubo)

busca mas en libros.

Observa que el dominio de la función f es: D = R - {1}.

Luego, permutamos variables:

x = (y + 1)/(y - 1),hacemos pasaje de divisor como factor y queda:

x(y- 1) = y + 1, distribuimos en el primer miembro y queda:

xy - x =y + 1, hacemos pasajes de términos y queda:

xy - y = x + 1, extraemos factor común en el primer miembro y queda:

y(x - 1) = x +1, hacemos pasaje de factor como divisor y queda:

y = (x + 1)/(x - 1), por lo que tenemos que la expresión de la función inversa queda:

f^-1(x) = (x + 1)/(x- 1), cuyo dominio es: D = R - {1}.

Observa que en este caso se cumple que las expresiones de las dos funciones son iguales, y que también son iguales sus dominios y, por lo tanto, también sus imágenes (recuerda que la imagen de la función es igual al dominio de la función inversa, y que la imagen de la función inversa es igual al dominio de la función), por lo tanto tenemos::

f^-1(x) = f(x).(1)

Luego pasamos al ejercicio:

a) f(x) + f^-1(x) = aplicamos la igualdad (1) = f(x) + f(x) = 2f(x), por lo que tenemos: f(x) + f^-1(x) =2(x + 1)/(x - 1), cuyo dominio es: D = R - {1}.

b) f(x) * f^-1(x) = aplicamos la igualdad (1) = f(x) * f(x) = ( f(x) )², por lo que tenemos: f(x) * f^-1(x) = ( (x + 1)/(x - 1) )² = (x + 1)²/(x - 1)², cuyo dominio es: D = R - {1}.

Recuerda que en ambos casos, los dominios resultantes son iguales a las intersecciones de los dominios y, como tenemos que éstos coinciden, tenemos que su intersección también coincide con ellos.

Espero haberte ayudado.

4) Como puedes observar, el enunciado de la Actividad 4 tiene errores de redacción, por lo que interpretamos que es el siguiente, y esperamos te sirva como ejemplo al menos y, si no es así, cuando puedas enviar una foto, hazlo y vuelves a consultar.

Si las expresiones de las unciones son:

f(x) = √(x + 1), observa que su dominio es: D_f = [-1,+∞), y cuya imagen es (observa en la expresión que la raíz es positiva): I_f = [0,+∞);

g(x) = x² + x, observa que su dominio es: D_g = R, y cuya imagen es (puedes hacer una gráfica de la función, que es una parábola): I_g = [-1/4,+∞).

Luego, pasamos a las composiciones (recuerda que el dominio de la función compuesta debe estar incluido en el dominio de la primera función):

a) (g o f)(x) = g( f(x) ) = ( √(x + 1) )² + √(x + 1) = x + 1 + √(x + 1), cuyo dominio es: D₁ = [-1,+∞).

b) (f o g)(x) = f( g(x) ) = √(x² + x + 1), cuyo dominio (observa que el argumento toma valores positivos para todo x real) es: D = R.

5) Tienes la función racional cuya expresión es:

f(x) = (x + 3)/(2x - 3), cuyo dominio es: D = R- {3/2},

luego permutamos variables y queda:

x = (y + 3)/(2y + 3), hacemos pasaje de divisor como factor y queda:

x(2y +3) = y + 3, distribuimos en el primer miembro y queda:

2xy + 3x = y + 3, hacemos pasajes de términos y queda:

2xy - y = - 3x + 3, extraemos factores comunes en ambos miembros y queda:

y(2x - 1) = - 3(x - 1),hacemos pasaje de factor como divisor y queda:

y = - 3(x - 1)/(2x - 1), por lo que tenemos que la expresión de la función inversa queda:

f^-1(x) = - 3(x - 1)/(2x - 1), cuyo dominio es: D₁ = R - {1/2}.

Espero haberte ayudado.

Observa que distribuyes el denominador y queda:

I = ∫ ( cosx/sen²x + 3/sen²x ) dx 

Luego separas en términos y queda:

I = ∫ (cosx/sen²x)dx +  ∫ (3/sen²x)dx

Luego extraes el factor constante de la segunda integral y queda:

I = ∫ (cosx/sen²x)dx + 3 ∫ (1/sen²x)dx (1)

Luego, pasamos a cada integral por separado:

I₁ = ∫ (cosx/sen²x)dx

aplicas la sustitución (cambio de variable): w = senx,de donde tienes: dw = cosx dx, luego sustituyes y queda:

I₁ = ∫ (dw/w²) = ∫ w^-2dw = w^-1/(-1) + C₁ = -1/w + C₁ = -1/senx + C₁ = - cosecx + C₁ (2);

I₂ = ∫ (1/sen²x)dx = observa que es directa = - cotgx + C₂ (3);

luego, sustituimos las expresiones señaladas (2) (3) en la expresión señalada (1), llamamos C = C₁ + C₂ y queda:

I = I₁ + 3I₂= - cosecx - 3cotgx + C.

Espero haberte ayudado.

por dos números reales a,b, positivos, vale la igualdad

Te faltaria contestar la segunda pregunta que dice si es error de razonamiento o de calculo? Que crees?