Para respetar las posibles even tualidades, de los 1500 kg de cobre podremos disponer solo de 1500-1000=500
De los 1500 kg de plastico podremos disponer solo de 1500-500=1000 Kg
De los 4500 metros de cable podremos disponer solo de 4500-3000=1500 metros
Como necesitamos 250.000 metros de cable, necesitaremos producir 250000 - 1500 metros de cable = 248500 metro
La demanda de cobre quincenal para esos 248500 metros será 248500.0,050 Kg y la de plastico será 248500.0,020 kg

Restale respectivamente los 500 y 1000 kg de los que disponemos.
Es un ejercicio de "pensar" un poco y aplicar el sentido comun...

Vamos con la primera:

y = argshx, luego compones con la función inversa del argumento seno hiperbólico y queda:

shy = x, luego expresas al seno hiperbólico en función de exponenciales y queda:

(e^y - e^-y)/2 = x, luego haces pasaje de divisor como factor y queda:

e^y - e^-y = 2x, luego aplicas la propiedad de las potencias con exponente negativo en el segundo término del primer miembro y queda:

e^y - 1/e^y = 2x, luego multiplicas por e^y (observa que es estrictamente mayor que cero) en todos los términos de la ecuación y  queda:

(e^y)² - 1 = 2x*e^y, luego haces pasaje de término, ordenas y queda:

(e^y)² - 2x*e^y - 1 = 0, luego haces la sustitución: w = e^y, sustituyes y queda:

w² - 2x*w - 1 = 0, que es una ecuación polinómica cuadrática (si consideras como incógnita solo a w), aplicas la fórmula resolvente y queda:

w = x ± √(x² + 1), luego vuelves a sustituir (observa que elegimos el signo positivo para la raíz, porque las exponenciales toman valores estrictamente positivos) y queda:

e^y = x + √(x² + 1), luego componemos con la función inversa de la exponencial natural y queda:

y = ln( x + √(x² + 1) ).

Luego, observa que el dominio es D = R, porque el argumento del logaritmo es siempre positivo, porque su segundo término es mayor que el valor absoluto del primero; y la imagen es I = R, porque el logaritmo toma todo tipo de valor real.

Vamos con la segunda:

y = argchx, luego compones con la función inversa del argumento coseno hiperbólico y queda:

chy = x, luego expresas al coseno hiperbólico en función de exponenciales y queda:

(e^y + e^-y)/2 = x, luego haces pasaje de divisor como factor y queda:

e^y + e^-y = 2x, luego aplicas la propiedad de las potencias con exponente negativo en el segundo término del primer miembro y queda:

e^y + 1/e^y = 2x, luego multiplicas por e^y (observa que es estrictamente mayor que cero) en todos los términos de la ecuación y  queda:

(e^y)² + 1 = 2x*e^y, luego haces pasaje de término, ordenas y queda:

(e^y)² - 2x*e^y + 1 = 0, luego haces la sustitución: w = e^y, sustituyes y queda:

w² - 2x*w + 1 = 0, que es una ecuación polinómica cuadrática (si consideras como incógnita solo a w), aplicas la fórmula resolvente y queda:

w = x ± √(x² - 1),

luego vuelves a sustituir (observa que podemos tomar los dos signos para la raíz, porque las exponenciales toman valores estrictamente positivos) y queda:

e^y = x ± √(x² - 1), luego componemos con la función inversa de la exponencial natural y queda:

y = ln( x ± √(x² - 1) ).

Luego, observa que el dominio es D = [1,+inf), porque el argumento del logaritmo es siempre positivo y debe estar determinada la raíz cuadrada, y porque su segundo término es menor que el primero; y la imagen es I = R, porque el logaritmo toma todo tipo de valor real.

Lo que también debes precisar es que el argumento coseno hiperbólico no es una función si la definimos de esta manera, y que para que si lo sea, deberás elegir entre sus ramas, según cada uno de los signos de la raíz cuadrada en el argumento del logaritmo (para I = [0,+inf) corresponde el signo positivo en la raíz, y para I = (-inf,0] corresponde el signo negativo).

Vamos con la tercera.

y = argtanhx, compones con la función inversa del argumento tangente hiperbólica y queda:

tanhy = x, luego expresas a la tangente hiperbólica en función del seno hiperbólico y del coseno hiperbólico y queda:

shy / chy = x, haces pasaje de divisor como factor y queda:

shy = x*chy, luego expresas al seno hiperbólico y al coseno hiperbólico en función de exponenciales y queda:

(e^y - e^-y)/2 = x*(e^y + e^-y)/2, multiplicas por 2 en ambos miembros, aplicas la propiedad de las potencias con exponente negativo y queda:

e^y - 1/e^y = x*(e^y + 1/e^y), distribuyes en el segundo miembro y queda:

e^y - 1/e^y = x*e^y + x/e^y, multiplicas por e^y en todos los términos de la ecuación y queda: 

(e^y)² - 1 = x*(e^y)² + x, haces pasajes de términos y queda:

(e^y)² - x*(e^y)² = 1 + x, extraes factor común en el primer miembro y queda:

(e^y)²*(1 - x) = 1 + x, haces pasaje de factor como divisor y queda:

(e^y)² = (1 + x)/(1 - x),

haces pasaje de potencia como raíz (observa que la expresión del segundo miembro debe ser estrictamente positiva, y para ello debe cumplirse: - 1 < x < 1) (*) y queda:

e^y = √( (1 + x)/(1 - x) ), luego compones con la función inversa de la exponencial natural y queda:

y = ln( √( (1 + x)/(1 - x) ) ).

Luego, como indica la desigualdad señalada (*), el dominio de la función es: D = (-1,1), y su imagen es: I = R.

Espero haberte ayudado.

X³-3X+2= (x+2)(x-1)²

x⁴+3x²-4x= x(x-1)(x²+ x + 4)

x³-7x-6=(x+1)(x-3)(x+2)

Muchas gracias, no sabía que era con fracciones parciales. :)

¿Sabrías si es válido re-plantear la integral de esta manera, para proporcionar una solución alternativa?

Me encantaría ayudarte, pero no respondo dudas universitarias que no tengan que ver específicamente con los videos que ya he grabado como excepcion. O de otras asignaturas que no sean matemáticas, física y química. Lo siento de corazón… Espero lo entiendas

Ojalá algun unicoo universitario se anime a ayudarte (de hecho lo ideal es que todos los universitarios intentarais ayudaros los unos a los otros)

Vamos con una orientación para que puedas afrontar la tarea.

Tienes para el número natural n que sus cifras son: n = a_k a_k-1 ... a₁ a₀

Luego, observa que el número natural: n - a₀ = a_k a_k-1 ... a₁ 0

Luego,, observa que: a_k a_k-1 ... a₁ = (n - a₀)/10 (1).

Luego, si tenemos que a_k a_k-1 ... a₁ - 30a₀ = 43*x, con x ∈ N (recuerda que es múltiplo de 43), reemplazamos según la expresión señalada (1) y queda:

(n - a₀)/10 - 30a₀ = 43*x, multiplicamos por 10 en todos los términos de la ecuación y queda:

n - a₀ - 300a₀ = 430*x, reducimos términos semejantes en el primer miembro y queda:

n - 301a₀ = 430*x, hacemos pasaje de término y queda:

n = 430*x + 301a₀, factorizamos coeficientes y queda:

n = 43*10x + 43*7a₀, extraemos factor común en el segundo miembro y queda:

n = 43*(10x + 7a₀), por lo que tienes que n es múltiplo de 43.

Observa que hemos empleado a 301 que es un múltiplo de 43, que es la suma de un múltiplo de 100 (300 = 30*10) más 1.

Para 67 tenemos: 201 = 67*3, que es la suma de un múltiplo de 100 (200 = 20*10) más 1.

Luego, tienes que modificar el enunciado, y si en lugar de 30a₀ escribes 20a₀, y si en lugar de 43 escribes 67, tendrás tu regla de divisibilidad para 67, que puedes intentar demostrar como ejercicio.

Espero haberte ayudado.

Hay una cosa que no me queda clara. Como pasas de         n = ak ak-1 ... a1 a0       a     n - a0 = ak ak-1 ... a1 0  ?

1) Claro, se aplica el criterio de signos siempre  ∞ ÷ -nº = -∞,  -∞ ÷ nº = -∞     y    ∞ ÷ nº = ∞   (recuerda que cuando no hay signo delante se presupone el signo +)

Para hallar ∞ ÷ -1 debemos usar ∞ ÷ -nº = -∞, por lo tanto la solución es -∞

2) nº/0= ∞, simplemente (también se aplica el criterio de signos, es decir, -nº/0= -∞, nº/0-= -∞) 

Lo siento, no entiendo lo que quieres expresar. Te sugiero una foto.

Recuerda las propiedades:

log_a(x^p) = p*log_ax (1)

log_a(x*y) = log_ax + log_ay (2)

log_a(x/y) = log_ax - log_ay (3)

√x = x^1/2 (4)

Luego, el argumento del logaritmo en el enunciado es:

N = ( x³*y²*√z )⁵ = aplicamos (4) en el tercer factor del argumento = ( x³*y²*z^1/2 )⁵ 

Luego planteamos:

log_aN = aplicaos (1) = 5*log_a( x³*y²*z^1/2 ) = aplicamos (2) = 5 * ( log_a(x³) + log_a(y²) + log_a(z^1/2) ) = aplicamos (2) = 

= 5 * ( 3*log_a(x) + 2*log_a(y) + (1/2)*log_a(z) ) = distribuimos = 15*log_a(x) + 10*log_a(y) + (5/2)*log_a(z).

Espero haberte ayudado.