¿¿??

Llamemos x₁ al vector que es una solución de la ecuación matricial: Ax = b,

y llamemos x₂ al vector que es una solución de la ecuación matricial: Ax = 2b.

Reemplazamos x₁ y x₂ y tenemos las identidades matriciales:

Ax₁ = b

Ax₂ = 2b

Vamos ahora con algunas operaciones con escalares y matrices:

a) Multiplicamos por 6 en ambos miembros de la primera ecuación y queda:

6 Ax₁ = 6b, aplicamos propiedad del producto de escalares por matrices (kAB = A(kB), k ∈ R):

A 6x₁ = 6b, por lo que tenemos que 6x₁ es solución de Ax = 6b.

b) Multiplicamos por 3 en ambos miembros de la segunda ecuación y queda:

3 Ax₂ = 3 * 2b, aplicamos propiedad del producto de escalares por matrices (kAB = A(kB), k ∈ R):

A 3x₂ = 6b, por lo que tenemos que 3x₂ es solución de Ax = 6b.

c) Multiplicamos en la primera ecuación por 4, luego operamos en forma similar a los casos anteriores, mantenemos invariante la segunda ecuación y tenemos:

A 4x₁ = 4b

A x₂ = 2b

sumamos miembro a miembro y queda:

A 4x₁ + A x₂ = 6b. extraemos factor común por la izquierda en el primer miembro y queda:

A (4x₁ + x₂) = 6b, por lo que tenemos que 4x₁ + x₂ es solución de Ax = 6b.

d) Multiplicamos en la primera ecuación por 3 y en la segunda ecuación por 3/2, luego operamos en forma similar a los casos anteriores y tenemos:

A 3x₁ = 3b

A (3/2)x₂ = 3b

sumamos miembro a miembro y queda:

A 3x₁ + A (3/2)x₂ = 6b, extraemos factor común por la izquierda en el primer miembro y queda:

A (3x₁ + (3/2)x₂) = 6b, por lo que tenemos que 3x₁ + (3/2)x₂, es solución de Ax = 6b.

Espero haberte ayudado.

¿Qué paso o pasos no has entendido? Si me dices te explico gustosamente, son muy facilitas. 

Ánimo

Por favor, verifica que estén correctamente escritas las ecuaciones (observa que los primeros miembros de la segunda y de la tercera ecuación son iguales).

Tal como están en tu enunciado, la matriz ampliada del sistema queda:

k      1      1     1

1      1     1      k

1      1     1     2k

Luego, si observas la matriz del sistema (cuyos elementos están remarcados) verás que es cuadrada y de orden 3, y que tiene que su fila 2 es igual a su fila 3, por lo que el determinante de la matriz es igual a cero.

Luego, permutamos la fila 1 con la fila 3 y queda:

1      1     1     2k

1      1     1      k

k      1      1     1

A la fila 2 le restamos la fila 1, a la fila 3 le restamos la fila 1 multiplicada por k y queda:

1       1         1          2k

0       0         0           -k

0    (1-k)    (1-k)    (1-2k²)

Luego, observa la fila 2, el sistema resulta incompatible para k ≠ 0.

Luego, para k = 0 tenemos:

1       1         1          0

0       0         0          0

0      1          1          1

Permutamos la fila 2 con la fila 3 y queda:

1       1         1          0

0      1          1          1

0      0         0           0

A la fila 1 le restamos la fila 2 y queda:

1      0         0          -1

0      1          1          1

0       0         0           0

Luego, observa que tanto la matriz del sistema, como la matriz ampliada tienen dos filas que no son nulas, por lo que el sistema resulta ser compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones y, para expresarlas, planteamos el sistema de ecuaciones equivalente:

x = - 1

y + z = 1, de donde despejamos: z = 1 - y,

luego, las soluciones quedan expresadas: x = -1, y ∈ R, z = 1 - y.

Espero haberte ayudado.

Asi estaba expresado el sistema amigo.Muchas gracias por la explicacion

Muy  útil!!! Muchas gracias.

Observa que el dominio de la función es: D_f = (0,+inf), y que su imagen es I_f = R.

Luego, para la función inversa, llamémosla g = f^-1, tenemos: D_g = I_f = R, y I_g = Df =(0,+inf).

Luego, hacemos el cambio de variable: y = f(x), y la expresión de la función queda:

y = log_1/4(x/2), componemos con la función inversa del logaritmo en base 1/4 y queda:

(1/4)^y = x/2, hacemos pasaje de divisor como factor y queda:

2*(1/4)^y = x, observa que hasta aquí hemos trabajado con la expresión de la función f, luego, para pasar a trabajar con su inversa permutamos variables y queda:

2*(1/4)^x = y, leemos de derecha a izquierda, distribuimos el exponente y queda:

y = 2*1/4^x, luego tenemos, por propiedad de las potencias con exponente negativo:

y = 2*4^-x.

Por lo tanto, la expresión de la función inversa de f queda:

f^-1(x) = 2*4^-x.

Espero haberte ayudado.

A vos ya te debo la vida!!!

Gracias por todo.

Debes tener en cuenta propiedades lógicas y también debes tener presentes algunas definiciones.

a) P(A) u P(B) c P(A u B)

Sea X ∈ P(A) u P(B) → definición de unión → X ∈ P(A) ∨ X ∈ P(B) → definición de conjunto de partes → 

→ X c A ∨ X c B  → definición de unión → X c (A u B) → definición de conjunto de partes → X ∈ P(A u B).

b) (A ∩ B) x C = (A x C) ∩ (B x C)

Sea (x,y) ∈ (A ∩ B) x C ↔ definición de producto cartesiano ↔ x ∈ (A ∩ B) ∧ y ∈ C ↔ definición de intersección ↔

↔ ( x ∈ A ∧ x ∈ B ) ∧ y ∈ C ↔ propiedad distributiva de la conjunción ↔ (x ∈ A ∧  y ∈ C) ∧ (x ∈ B ∧ y ∈ C) ↔ definición de producto cartesiano ↔

↔ (x,y) ∈ (A x C) ∧ (x,y) ∈ (B x C) ↔ definición de intersección ↔ (x,y) ∈ (A x C) ∩ (B x C.  

Espero haberte ayudado.

No disponemos de esos apuntes, lo siento...

Te sugiero intentes factorizar el denominador y luego veas estos vídeos...