Muchas gracias, me podría  hacer un gran favor y pasarme unos apuntes que tenga usted o  recomendarme un buen libro de esto.Esque los mios son muy malos y usted explica tan bien que si usted tuviera unos apuntes de todo esto de topología de puntos interiores, adherentes y etc y si me los pasará, se lo agradezería mucho.

http://www.mat.ucm.es/~cruizb/MMI/Apuntes-i/Apuntes-16/Ap-Numeros-5.pdf

Vamos con tu primera consulta.

Analicemos la expresión del argumento de la raíz cuadrada:

A = | |x| - 1 |, luego tenemos dos opciones:

Observa que para el primer valor absoluto, tenemos dos opciones:

1) A = |x| - 1, si |x| - 1 ≥ 0,

2) A = - ( |x| - 1 ) = - |x| + 1, si |x| - 1 < 0.

Luego pasamos a estudiar las dos opciones por separado.

1) Si |x| - 1 ≥ 0, hacemos pasaje de término y queda: |x| ≥ 1, que nos conduce al intervalo: I₁ = (-inf,-1] u [1,+inf), luego:

a) para el primer subintervalo (observa que x toma valores negativos), la expresión queda: A = - x - 1 (1);

b) para el segundo subintervalo (observa que x toma valores positivos), la expresión queda: A = x - 1 (2).

2) Si |x| - 1 < 0, hacemos pasaje de término y queda: |x| < 1, que nos conduce al intervalo: I₂ = (-1,1) = (-1,0) u [0,1), luego:

a) para  el primer subintervalo (observa que x toma valores negativos), la expresión queda: A = - (- x) + 1 = x + 1 (3);

b) para el segundo subintervalo (observa que x toma valores positivos), la expresión queda: A = - x + 1 (4).

Luego, la expresión de la función queda:

f(x) = e^-x√( | |x| | - 1 ) = 

 e^-x√( - x - 1 )          si x ∈ (-inf,-1]         a partir de la opción señalada (1)

 e^-x√( x - 1 )            si x ∈ [1,+inf)         a partir de la opción señalada (2)

 e^-x√( x + 1 )            si x ∈ (-1,0)            a partir de la opción señalada (3)

 e^-x√( - x + 1 )          si x ∈ [0,1)             a partir de la opción señalada (4)

Espero haberte ayudado.

Consideramos que en el numerador de la expresión de la función tenemos una producto entre e y la raíz cuadrada de la expresión.

Observa que el dominio de la función es: D = R - {0}.

Observa que tenemos dos opciones, a partir de la definición de valor absoluto:

1) Si x - 1 ≥ 0, hacemos pasaje de término y queda: x ≥ 1, que corresponde al intervalo: [1,+inf), el argumento de la raíz queda: |x - 1| = x - 1 (1).

2) Si x - 1 < 0, hacemos pasaje de término y queda: x < 1, que corresponde al intervalo: (-inf,0) u (0,1) (2).el argumento de la raíz queda: |x - 1| = -(x - 1) = - x + 1 (2).

Luego, la expresión de la función queda:

f(x) = e √( |x - 1| ) =

e √( x - 1 )        si x ∈ [1,+inf)                         a partir de la opción señalada (1)

e √( -x + 1 )     si x ∈ (-inf, 0) u (0,1)             a partir de la opción señalada (2)

Luego, y tal cuál señalas en tu trabajo, el punto x = 1 es un punto de corte, por lo que debemos plantear por definición la derivabilidad:

f ' (1) = Lím(x→1) ( f(x) - f(1) ) / (x - 1) = reemplazamos f(1) = Lím(x→1) ( f(x) - 0 ) / (x - 1) = Lím(x→1) ( f(x) ) / (x - 1) ,

luego planteamos las derivadas laterales:

f₊' (1) = Lím(x→1+) ( e √( x - 1 ) ) / (x - 1)  = e Lím(x→1+) ( ( x - 1 )^1/2 ) / (x - 1)¹ = e Lím(x→1+) ( ( x - 1 )^-1/2 ) = e Lím(x→1+) ( 1/( x - 1 )^1/2 ) = + infinito;

f_- ' (1) = Lím(x→1-) ( e √( - x + 1 ) ) / (x - 1)  = e Lím(x→1-) ( ( -x + 1 )^1/2 ) / (-1)(-x + 1)¹ = e/(-1) Lím(x→1-) ( ( -x + 1 )^-1/2 ) = - e Lím(x→1+) ( 1/( -x + 1 )^1/2 ) = - infinito.

Por lo tanto, concluimos que la función no es derivable en x = 1, y que tampoco admite derivadas laterales en x = 1.

Y si en la expresión de la función tienes una raíz de índice e en el numerador, tenemos:

f(x ) = ^e√( |x - 1| ) = 

 ^e√( x - 1 )           si x ∈ [1,+inf)                         a partir de la opción señalada (1)

 ^e√( - x + 1 )       si x ∈ (-inf, 0) u (0,1)             a partir de la opción señalada (2)

Luego, y tal cuál señalas en tu trabajo, el punto x = 1 es un punto de corte, por lo que debemos plantear por definición la derivabilidad:

f ' (1) = Lím(x→1) ( f(x) - f(1) ) / (x - 1) = reemplazamos f(1) = Lím(x→1) ( f(x) - 0 ) / (x - 1) = Lím(x→1) ( f(x) ) / (x - 1) ,

luego planteamos las derivadas laterales:

f₊' (1) = Lím(x→1+) (  ^e√( x - 1 ) / (x - 1)  =  Lím(x→1+) ( ( x - 1 )^1/e ) / (x - 1)¹ = Lím(x→1+) ( ( x - 1 )^1/e-1 ) = Lím(x→1+) ( 1/( x - 1 )^-1/e+1 ) = + infinito;

f_- ' (1) = Lím(x→1-) ( ^e√( -x + 1 ) / (x - 1)  = Lím(x→1-) ( ( -x + 1 )^1/e ) / (-1)(-x + 1)¹ = 1/(-1) Lím(x→1-) ( ( -x + 1 )^1/e-1 ) = - Lím(x→1+) ( 1/( -x + 1 )^-1/e+1 ) = - infinito.

Por lo tanto, concluimos que la función no es derivable en x = 1, y que tampoco admite derivadas laterales en x = 1.

Espero haberte ayudado.

Muchas gracias. 

Solo por las dudas, te queda 160 no? 
Gracias de antemano por la respuesta.

(5!/3!2!)*4²= (5*4*3*2*1/3*2*1*2*1)*16= (120/12)*16=10*16= 160 números (como bien te señala el profe en amarillo en la resolución)

Muchas gracias a los dos!!! 
Me fue de mucha ayuda.

Un saludo!

Haces pasaje de divisor como factor y queda:

co²x = senx(2*cosx + senx), distribuyes en el segundo miembro y queda:

co²x = 2*senx*cosx + sen²x, haces pasaje de término y queda:

co²x - sen²x = 2*senx*cosx,

observa que en el primer miembro tenemos cos(2x), en el segundo tenemos: sen(2x), sustituimos y queda:

cos(2x) = sen(2x), haces pasaje de factor como divisor y queda:

1 = sen(2x) / cos(2x), observa que en el segundo miembro tenemos tan(2x), sustituimos y queda:

1 = tan(2x),

luego componemos con la función inversa de la tangente y tenemos dos opciones, una en el primer cuadrante y otra en el tercer cuadrante:

a) 2x = 45° + 360°*k, con k ∈ Z, dividimos por 2 en todos los términos de la ecuación y queda:

x = 22,5° + 180°*k, con k ∈ Z.

b) 2x = 225° + 360°*k, con k ∈ Z, dividimos por 2 en todos los términos de la ecuación y queda:

x = 112,5° + 180°*k, con k ∈ Z.

Espero haberte ayudado.

Observa que la palabra tiene diez letras, y que todas son distintas.

Luego, tenemos:

1) Elegimos los lugares en que se ubican las vocales, y tenemos: C(10,5) = 10! / 5!5! = 252 posibilidades.

2) Colocamos las vocales en los lugares elegidos: observa que tenemos una sola posibilidad para ordenarlas: UIEAO.

3) Colocamos las consonantes en los lugares que faltan ocupar y tenemos: P(5) = 5! = 120 posibilidades.

Luego, por el principio de multiplicación tenemos:

N = 252*1*120 = 30240 posibilidades (maneras) de ordenar las letras con la condición indicada en el enunciado.

Espero haberte ayudado.

Genio!!! Muchas gracias.

Muchas gracias, solo una pequeña duda .

Porque en el A al poner -6 no cambias el menor igual y después en el B al poner el -2 lo cambias de menor igual a maior igual??

Seria genial un dibujo para poder ayudarte mejor, pero aunque solo sea por esa camiseta :P :P :P ......... si la altura del acantilado es h y la distancia al pie del acantilado es x, por trigonometria de un triangulo rectangulo...
tan87º67' = h/x.......x= h/ tan87º67'
tan87º69' = (h+10)/x... x.tan87º69' = h+10....  x = (h+10) / tan87º69'
Resuelve el sistema de ecuaciones y tendrás x y h...

Por igualacion... h/ tan87º67' = (h+10) / tan87º69'....

Observa que al igualar las expresiones queda:

x² = - x + 2, luego haces pasaje de términos y queda:

x² + x - 2 = 0, que es una ecuación polinómica cuadrática, cuyas soluciones son:

x = - 2, que no pertenece al intervalo de integración, por lo que no la consideramos;

x = 1, que es el extremo derecho del intervalo de integración;

luego, evaluamos las dos expresiones para el extremo izquierdo del intervalo y queda:

f(0) = 0² = 0, g(0) = - 0 + 2 = 2, 

por lo que tenemos que la función g toma valores más altos (haz un gráfico para verls), por lo que planteamos para el cálculo del área:

A = ∫ ( g(x) - f(x) )*dx = ∫ (- x + 2 - x²)*dx, luego integramos y queda:

A = [ - x²/2 + 2x - x³/3 ], luego evaluamos con la Regla de Barrow entre 0 y 1, y queda:

A = (- 1²/2 + 2*1 - 1³/3) - (- 0²/2 + 2*0 - 0³/3) = - 1/2 + 2 - 1/3 - 0 = 7/6.

Espero haberte ayudado.

Sii, gracias me sirve (sabes que me ha pasado que he puesto en g(x)=-x+2 pero era -x^2+2 bueno pero el procedimiento y la duda me sirven!!